§ 012 - Parafusos utilizados na fixação de estrutura de aço [DIC] #04

Os quadrados médios dos tratamentos e dos erros são iguais respectivamente a 117 e a 50,3, resultando em um valor para F de 2,33.
O F tabelado para 5% de significância, para 2 graus de liberdade dos tratamentos e 14 graus de liberdade dos erros resulta 3,74.
Como o F obtido com a análise de variância (2,33) não excede o F tabelado (3,74), a hipótese nula não pode ser rejeitada e não é possível concluir que exista diferença nas capacidades de resistência dos parafusos testados, obtidos nas três posições de fixação consideradas neste estudo.

Delineamentos em quadrados latinos, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. Os valores para F são obtidos dividindo os quadrados médios dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições pelo quadrado médio dos erros. Esses valores de F devem ser comparados com os valores fornecidos pela distribuição F para os graus de liberdade, respectivamente, dos tratamentos e dos erros, das linhas e dos erros, das colunas e dos erros e das repetições e dos erros, para a significância pretendida. Caso os valores obtidos sejam inferiores aos valores fornecidos pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso sejam superiores, a hipótese nula deve ser rejeitada.

Delineamentos em blocos casualizados, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. Os valores para F são obtidos dividindo os quadrados médios dos tratamentos e dos blocos pelo quadrado médio dos erros. Esses valores de F devem ser comparados com os valores fornecidos pela distribuição F para os graus de liberdade, respectivamente, dos tratamentos e dos erros e dos blocos e dos erros, e para a significância pretendida. Caso os valores obtidos sejam inferiores aos valores fornecidos pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso sejam superiores, a hipótese nula deve ser rejeitada.

Delineamentos inteiramente casualizados, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. O valor para F é obtido dividindo o quadrado médio dos tratamentos pelo quadrado médio dos erros. Esse valor de F deve ser comparado com o valor fornecido pela distribuição F para os graus de liberdade dos tratamentos e dos erros e para a significância pretendida. Caso o valor obtido seja inferior ao valor fornecido pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso seja superior, a hipótese nula deve ser rejeitada.

Delineamentos em quadrados latinos, decomposição das observações

O modelo apresentado para os delineamentos em quadrados latinos pode ser re escrito como:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que o efeito dos tratamentos, os efeitos de linhas e colunas e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma das médias de todas as observações, do efeito de linhas e de colunas, nos dois primeiros parênteses, do efeito dos tratamentos, no terceiro parênteses, do efeito de repetições, no quarto parênteses, e do resíduo, no quinto e último parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados de linhas, de colunas, dos tratamentos, das repetições e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos, SQL é a soma dos quadrados das linhas, SQC é a soma dos quadrados das colunas, SQR é a soma dos quadrados das repetições e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção. As somas dos tratamentos, de linhas e de colunas apresentam respectivamente n-1 graus de liberdade, enquanto a soma das repetições apresenta r-1 graus de liberdade.
As somas dos quadrados dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições e a soma dos quadrados dos erros podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e as somas dos quadrados dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições. A soma dos erros apresenta (n-1)(rn+r-3) graus de liberdade.
A soma SO_i+++ corresponde à soma das observações em cada linha, a soma SO_+j++ corresponde à soma das observações em cada coluna, a soma SO_++k+ corresponde à soma das observações em cada tratamento e a soma SO_+++l corresponde à soma em cada repetição, enquanto a soma SO₊₊₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.

Delineamentos em blocos casualizados, decomposição das observações

O modelo apresentado para os delineamentos em blocos casualizados pode ser re escrito como:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que o efeito dos tratamentos, o efeito dos blocos e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma das médias de todas as observações, do efeito dos tratamentos, no primeiro parênteses, do efeito dos blocos, no segundo parênteses, e do resíduo, no terceiro parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados dos tratamentos, dos blocos e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos, SQB é a soma dos quadrados dos blocos e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção. As somas dos tratamentos e dos blocos apresentam respectivamente k-1 e n-1 graus de liberdade.
As somas dos quadrados dos tratamentos e dos blocos e a soma dos quadrados dos erros podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e as somas dos quadrados dos tratamentos e dos blocos. A soma dos erros apresenta (k-1)(n-1) graus de liberdade.
A soma SO_i+ corresponde à soma das observações em cada um dos tratamentos, a soma SO_+j corresponde à soma das observações em cada bloco, enquanto a soma SO₊₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.

Delineamentos inteiramente casualizados, decomposição das observações

O modelo apresentado para os delineamentos inteiramente casualizados pode ser re escrito como:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que o efeito dos tratamentos e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma da médias de todas as observações, do efeito dos tratamentos, no primeiro parênteses, e do resíduo, no segundo parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados dos tratamentos e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção. A soma dos tratamentos apresenta k-1 graus de liberdade.
A soma dos quadrados dos tratamentos e a soma dos quadrados dos erros podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e a soma dos quadrados dos tratamentos. A soma dos erros apresenta nk-k graus de liberdade.
A soma SO_i corresponde à soma das observações em cada um dos tratamentos, enquanto a soma SO₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.

§ 026 - Tanque com água e ar #01

Considere o tanque mostrado na figura. A pressão no ponto A é de 98kPa. Qual a pressão no ponto B? E qual seria a pressão no ponto B se o peso específico do ar fosse desprezado?

Henri Pitot (1695-1771)

Henri Pitot foi um engenheiro francês especializado em hidráulica, nascido em Aramon em 3 de maio de 1695 e falecido em 27 de dezembro de 1771. Começou os seus estudos em matemática e astronomia em Paris, tendo-se tornado assistente do eminente físico Réaumur em 1723. No ano seguinte foi nomeado membro da Academia das Ciências de França.

§ 025 - Aplicação da teoria da semelhança ao escoamento em torno de uma esfera #01

Considere o escoamento em torno de uma esfera.

§ 024 - Determinação de função de corrente #01

Considere um escoamento descrito por um campo de velocidades com as componentes u e v apresentadas abaixo. Determine a função de corrente e desenhe o campo de velocidades. Determine, se possível, a função potencial de velocidades. Estabeleça o campo de acelerações.

§ 023 - Elevação capilar entre tubo e tarugo #01

§ 022 - Banho sulfúrico aquecido para retirada de óxidos de superfície metálica [EMF] #01

Um típico Experimento Multi Fatorial [EMF]... Um banho com ácido sulfúrico aquecido é utilizado para remover óxidos da superfície de um metal que receberá um filme fino como cobertura. É necessário determinar que fatores, além da concentração de ácido sulfúrico, podem afetar a condutividade elétrica do banho.
Como a concentração de sal e a temperatura do banho também devem influenciar a condutividade elétrica, planeja-se um experimento para avaliar as influências individuais e conjuntas dessas três variáveis.
Para cobrir as variações típicas dessas três variáveis, planeja-se um experimento com os seguintes níveis para os três fatores considerados:

Os resultados obtidos para três replicações desse experimento, que envolve 24 diferentes combinações destes níveis, foram os seguintes:




Uma análise de variância com significância de 5%, considerando as diferentes concentrações de ácido, as diferentes concentrações de sal, as diferentes temperaturas do banho e as replicações, pode indicar se existem diferenças em seus efeitos sobre os resultados.

§ 021 - Tempo de cozimento de amostras cerâmicas [E2F] #01

Um típico Experimento Fatorial com Dois Fatores [E2F]... É necessário avaliar a influência da largura de um forno e da temperatura mantida durante o cozimento de amostras cerãmicas sobre o tempo até determinado estágio de cozimento dessas amostras. Os resultados obtidos para três repetições foram os seguintes:

Uma análise de variância com 1% de significância pode indicar se existe influência da largura do forno, da temperatura mantida durante o cozimento ou se existe interação entre esses efeitos sobre o tempo de cozimento.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #06

» O enunciado do problema está em #01.

Delineamentos em quadrados latinos, modelos e hipóteses

As observações x_ij, conforme organizadas para delineamentos em quadrados latinos, podem ser escritas como aparece acima, onde cada observação é decomposta como a soma da média de todas as observações, do efeito do tratamento, dos efeitos de linhas e colunas e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
A hipótese nula deve estabelecer que os efeitos das linhas são todos iguais a zero, ou seja, α₁=α₂=...=α_k=0, que os efeitos das colunas são todos iguais a zero, ou seja, β₁=β₂=...=β_k=0 e que os efeitos dos tratamentos são todos iguais a zero, ou seja, γ₁=γ₂=...=γ_k=0. A hipótese alternativa deve estabelecer que pelo menos um dos efeitos dos tratamentos seja diferente de zero, que pelo menos um dos efeitos das linhas seja diferente de zero e que pelo menos um dos efeitos das colunas seja diferente de zero.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #05

» O enunciado do problema está em #01.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #04

» O enunciado do problema está em #01.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #03

» O enunciado do problema está em #01.

Delineamentos em blocos casualizados, modelo e hipóteses

As observações x_ij, conforme organizadas para delineamentos em blocos casualizados, podem ser escritas como aparece acima, onde cada observação é decomposta como a soma da média de todas as observações, do efeito do tratamento, do efeito do bloco e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
A hipótese nula deve estabelecer que os efeitos dos tratamentos são todos iguais a zero, ou seja, α₁=α₂=...=α_k=0, e que os efeitos dos blocos são todos iguais a zero, ou seja, β₁=β₂=...=β_k=0. A hipótese alternativa deve estabelecer que pelo menos um dos efeitos dos tratamentos seja diferente de zero e que pelo menos um dos efeitos dos blocos seja diferente de zero.

Delineamentos inteiramente casualizados, modelo e hipóteses

As observações x_ij, conforme organizadas para delineamentos interiamente casualizados, podem ser escritas como aparece ao lado, onde cada observação é decomposta como a soma da média da amostra e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
Para facilitar o desenvolvimento de delineamentos mais complexos, a média de cada tratamento será decomposta ainda como a soma da média de todas as observações e do efeito do tratamento. Desse modo, onde cada observação é decomposta como a soma da média de todas as observações, do efeito do tratamento e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
A hipótese nula, de que as médias das k amostras são todas iguais, pode ser re escrita de modo as estabelecer que os efeitos dos tratamentos são todos iguais a zero, ou seja, α₁=α₂=...=α_k=0.
A hipótese alternativa, de que pelo menos uma das médias das k amostras seja diferente, pode ser re escrita de modo a estabelecer que pelo menos um dos efeitos dos tratamentos seja diferente de zero.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #02

O perfil de velocidades deve ser determinado com a aplicação da equação da continuidade e das três componentes da equação de Navier-Stokes, na forma diferencial.
Considerando que o eixo x se desenvolva ao longo da direção de movimento relativo entre as placas, apenas a primeira componente da velocidade, u, será diferente de zero.
Na equação da continuidade, as variações de v e de w com y e com z, respectivamente, serão iguais a zero. Restando apenas a variação de u com x, será também igual a zero.
Na segunda e na terceira componentes da equação de Navier-Stokes, todos os termos que incluem v e w e suas variações com y e com z serão iguais a zero. Restarão apenas as derivadas de p com y e com z, que serão também iguais a zero. Desse modo, sabe-se que a pressão varia apenas com x.
Na primeira componente, os termos incluindo v e w e as derivadas de u com x e com z serão iguais a zero. Restarão apenas a derivada segunda de u com y e a derivada da pressão com x, que aparecem na equação à direita. O perfil de velocidades, a componente u como função de y, pode ser determinado a partir da integração dessa equação diferencial.
Considerando o gradiente de pressão ao longo de x como uma constante, uma primeira integração leva à equação à esquerda, onde aparece a constante C₁, constante de integração, a ser determinada por condições de contorno. Uma nova integração leva à equação logo abaixo, à direita, onde aparecem duas constantes de integração, C₁ e C₂. Essa equação estabelece o perfil de velocidades e descreve a primeira componente do vetor velocidade, u, como função da ordenada y, perpendicular à direção do escoamento. As duas condições de contorno, necessárias para determinação das constantes de integração, estabelecem as velocidades de camadas do fluido em contato com as duas placas.
» Segue em #03.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #01

Considere um fluido newtoniano incompressível colocado entre duas placas planas paraleles, conforme a figura. Determine o perfil de velocidades considerando combinações de velocidades das duas placas e de gradiente de pressões atuando sobre o fluido.
» Resolvido em #02, #03, #04, #05 e #06.

§ 019 - Continuidade em escoamento através de túnel de vento #01

O túnel de vento da figura ao lado é composto por três trechos com diâmetros diferentes. O primeiro tem diâmetro de 2,6 m e é por onde o ar entra no túnel; o segundo, onde está a seção de testes, tem diâmetro de 0,9 m; o terceiro, onde está situado o impulsor, tem diâmetro de 2,4 m. A seção de testes tem comprimento de 4 m e suas paredes são porosas, para permitir a saída de ar e a redução da espessura da camada-limite, permitindo uma melhor reprodução de um escoamento livre.

Lewis F. Moody (1880-1953)

Lewis Ferry Moody foi um engenheiro norte-americano nascido em 1880 e falecido em 1953. Ele foi o primeiro Professor da cátedra de Hidráulica da Escola de Engenharia de Princeton e ficou famoso pelo seu trabalho [1] que apresentou o diagrama...