Delineamentos em quadrados latinos, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. Os valores para F são obtidos dividindo os quadrados médios dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições pelo quadrado médio dos erros. Esses valores de F devem ser comparados com os valores fornecidos pela distribuição F para os graus de liberdade, respectivamente, dos tratamentos e dos erros, das linhas e dos erros, das colunas e dos erros e das repetições e dos erros, para a significância pretendida. Caso os valores obtidos sejam inferiores aos valores fornecidos pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso sejam superiores, a hipótese nula deve ser rejeitada.

Delineamentos em quadrados latinos, decomposição das observações

O modelo apresentado para os delineamentos em quadrados latinos pode ser re escrito como:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que o efeito dos tratamentos, os efeitos de linhas e colunas e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma das médias de todas as observações, do efeito de linhas e de colunas, nos dois primeiros parênteses, do efeito dos tratamentos, no terceiro parênteses, do efeito de repetições, no quarto parênteses, e do resíduo, no quinto e último parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados de linhas, de colunas, dos tratamentos, das repetições e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos, SQL é a soma dos quadrados das linhas, SQC é a soma dos quadrados das colunas, SQR é a soma dos quadrados das repetições e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção. As somas dos tratamentos, de linhas e de colunas apresentam respectivamente n-1 graus de liberdade, enquanto a soma das repetições apresenta r-1 graus de liberdade.
As somas dos quadrados dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições e a soma dos quadrados dos erros podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e as somas dos quadrados dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições. A soma dos erros apresenta (n-1)(rn+r-3) graus de liberdade.
A soma SO_i+++ corresponde à soma das observações em cada linha, a soma SO_+j++ corresponde à soma das observações em cada coluna, a soma SO_++k+ corresponde à soma das observações em cada tratamento e a soma SO_+++l corresponde à soma em cada repetição, enquanto a soma SO₊₊₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.

Delineamentos em quadrados latinos, modelos e hipóteses

As observações x_ij, conforme organizadas para delineamentos em quadrados latinos, podem ser escritas como aparece acima, onde cada observação é decomposta como a soma da média de todas as observações, do efeito do tratamento, dos efeitos de linhas e colunas e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
A hipótese nula deve estabelecer que os efeitos das linhas são todos iguais a zero, ou seja, α₁=α₂=...=α_k=0, que os efeitos das colunas são todos iguais a zero, ou seja, β₁=β₂=...=β_k=0 e que os efeitos dos tratamentos são todos iguais a zero, ou seja, γ₁=γ₂=...=γ_k=0. A hipótese alternativa deve estabelecer que pelo menos um dos efeitos dos tratamentos seja diferente de zero, que pelo menos um dos efeitos das linhas seja diferente de zero e que pelo menos um dos efeitos das colunas seja diferente de zero.

Delineamentos em quadrados latinos

Agregando blocos ao delineamento experimental, é possível "eliminar" uma fonte de variabilidade na comparação das médias das amostras. É possível ainda "eliminar" mais fontes de variabilidade ao delineamento experimental, tornando obviamente o modelo cada vez mais complexo mas ainda mantendo o balanceamento obtido com a introdução de blocos.
Os dados, agora, correspondem aos efeitos de k tratamentos sobre a "linhas" e b "colunas". Neste momento, ainda, será considerado que existe apenas uma observação (quer dizer, sem repetições) corresponente ao efeito de determinado tratamento sobre um bloco específico.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde os tratamentos A, B e C são distribuídos igualitariamente entre "linhas" e "colunas".
É importante que em cada linha e em cada coluna ocorra a aplicação de determinado tratamento apenas uma única vez. Em caso de repetição, recorre-se aos quadrados latinos para estabelecer a distribuição dos tratamentos entre linhas e colunas.
A tabela acima apresenta um exemplo de quadrado latino, onde cada tratamento aparece apenas uma vez em cada uma das linhas e colunas. A tabela ao lado apresenta outro exemplo de quadrado latino para uma matriz com 3 linhas e 3 colunas.
É necessário avaliar se existe diferença nos efeitos dos tratamentos e, do mesmo modo, se existe diferença nos efeitos de linhas e colunas.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com as mesmas médias, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias iguais. Existem testes para avaliar a razoabilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é necessário que as amostras apresentem o mesmo número de observações, ou seja, que se apresentem balanceadas.