Experimentos 2n fatoriais

Experimentos multi fatoriais

É possível expandir o raciocínio do delineamento anterior para uma quantidade maior de fatores, tornando o modelo bastante mais complexo, em função do número de fatores considerado, e incluindo combinações cada vez mais complexas de interações entre os fatores.

É importante ressaltar que esse desenvolvimento considerou três fatores como um exemplo para o caso genérico de um experimento com mais de dois fatores.

Experimentos com dois fatores

É possível identificar os efeitos das interações entre os fatores identificados e isolados nos delineamentos anteriores (DIC, DBC e DQL). Desse modo, organizando as observações conforme a tabela abaixo e considerando a atuação de dois fatores A e B, as observações x_ij estariam sujeitas aos efeitos desses dois fatores e também estariam sujeitas aos efeitos de sua interação.
A elaboração do modelo e o cálculo a partir da decomposição das observações será levado adiante a partir da organização das observações conforme a tabela abaixo, onde os diferentes níveis aparecem listados em seqüência e as diferentes colunas representam as repetições do experimento.
É usual denominar A e B como fatores e denominar seus possíveis valores, A₁, A₂ e A₃, B₁, B₂ e B₃, como níveis.

Delineamentos em quadrados latinos

Agregando blocos ao delineamento experimental, é possível "eliminar" uma fonte de variabilidade na comparação das médias das amostras. É possível ainda "eliminar" mais fontes de variabilidade ao delineamento experimental, tornando obviamente o modelo cada vez mais complexo mas ainda mantendo o balanceamento obtido com a introdução de blocos.
Os dados, agora, correspondem aos efeitos de k tratamentos sobre a "linhas" e b "colunas". Neste momento, ainda, será considerado que existe apenas uma observação (quer dizer, sem repetições) corresponente ao efeito de determinado tratamento sobre um bloco específico.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde os tratamentos A, B e C são distribuídos igualitariamente entre "linhas" e "colunas".
É importante que em cada linha e em cada coluna ocorra a aplicação de determinado tratamento apenas uma única vez. Em caso de repetição, recorre-se aos quadrados latinos para estabelecer a distribuição dos tratamentos entre linhas e colunas.
A tabela acima apresenta um exemplo de quadrado latino, onde cada tratamento aparece apenas uma vez em cada uma das linhas e colunas. A tabela ao lado apresenta outro exemplo de quadrado latino para uma matriz com 3 linhas e 3 colunas.
É necessário avaliar se existe diferença nos efeitos dos tratamentos e, do mesmo modo, se existe diferença nos efeitos de linhas e colunas.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com as mesmas médias, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias iguais. Existem testes para avaliar a razoabilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é necessário que as amostras apresentem o mesmo número de observações, ou seja, que se apresentem balanceadas.

Delineamentos em blocos casualizados

É possível reduzir a componente das observações que é devida à aleatoriedade incluindo fontes "conhecidas" de variação. É o que se faz agregando blocos ao delineamento experimental.
Os dados, agora, correspondem aos efeitos de k tratamentos sobre n blocos. Neste momento, ainda, será considerado que existe apenas uma observação corresponente ao efeito de determinado tratamento sobre um bloco específico.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde aparecem observações correspondentes aos efeitos de k tratamentos e de n blocos, totalizando k.n observações, onde x_ij é a observação correspondente ao i-ésimo tratamento e ao j-ésimo bloco, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n, com o subíndice '+', no cálculo das médias, indicando o tratamento ou o bloco no qual foi calculada a média. Dois subíndices '+' indicam que a média é calculada sobre os tratamentos e sobre os blocos, correspondendo portanto à "grande média", ou "média geral", que é a média de todas as observações.
É necessário avaliar se os efeitos dos tratamentos são idênticos entre si e, do mesmo modo, se os efeitos dos blocos são idênticos entre si, ou se uma ou mais se diferenciam das outras.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com as mesmas médias, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias iguais. Existem testes para avaliar a razoanilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é necessário que as amostras apresentem o mesmo número de observações, ou seja, que se apresentem balanceadas.

Delineamentos inteiramente casualizados

O ponto de partida é um conjunto de dados, ou observações, obtidos a partir de determinado experimento, composto por k amostras independentes, cada uma com um total de n repetições. É necessário avaliar se as observações são oriundas de k populações com a mesma média.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde aparecem k amostras (denominadas como tratamentos) de n observações, onde x_ij é a observação da i-ésima amostra e da j-ésima repetição, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n, com o subíndice '+' indicando o cálculo de uma média no subíndice correspondente. Dois subíndices '+' indicam que a média é calculada sobre os tratamentos e sobre as repetições, correspondendo portanto à "grande média", ou "média geral", que é a média de todas as observações.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com a mesma média, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias idênticas. Existem testes para avaliar a razoabilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é possível que as amostras apresentem números diferentes de observações, ou seja, que se apresentem desbalanceadas.