§ 016 - Quatro detergentes diferentes em três máquinas [DBC] #01

Um típico problema de Delineamento em Blocos Casualizados [DBC]... As quatro medidas de "brancura" apresentadas a seguir, obtidas com um equipamento específico, foram obtidas com 12 cargas de roupas distribuídas em 3 diferentes modelos de máquinas lava-roupas e com a utilização de 4 diferentes detergentes.

Uma análise de variância com significância de 1%, considerando os diferentes detergentes como tratamentos e as diferentes máquinas como blocos, pode indicar se existem diferenças em seus efeitos sobre os resultados.

§ 015 - Esforços devidos ao escoamento através de curva-redução #01

§ 014 - Operação de comporta que separa reservatório de canal de fuga #01

A comporta retangular mostrada na figura é articulada em A e separa a água em um reservatório do canal de fuga. Se a comporta, de espessura uniforme, mede 2m por 3m e pesa 2t, determine a altura máxima h para a qual a comporta permanece fechada.

§ 013 - Força sobre superfície plana trapezoidal submersa #01

Uma comporta trapezoidal vertical com sua aresta superior localizada 5m abaixo da superfície livre é mostrada na figura abaixo. Determine a força resultante das forças de pressão e o centro de pressões da comporta.
Como seriam alterados esses valores se a comporta fosse girada 180^o em torno de seu centro geométrico?

§ 012 - Parafusos utilizados na fixação de estrutura de aço [DIC] #02

O modelo deste delineamento é mostrado ao lado, permitindo o estabelecimento do teste de hipóteses a ser empregado, com 5% de significância. Como é típico neste tipo de delineamento, a hipótese nula afirma que os αs são todos iguais a zero, para todos os valores possíveis de i; a hipótese alternativa diz que algum desses αs será diferente de zero.
A partir da equação do modelo é possível decompor cada observação conforme é mostrado pelas equações. É tradicional que as médias calculadas ao longo de um dos subíndices seja representada por um ponto, mas foi feita a opção pelo sinal de adição, para melhorar a legibilidade das equações. Com essa decomposição, podem ser obtidas as matrizes apresentadas abaixo. A primeira é a matriz das observações, no lado esquerdo d igualdade, seguida de uma matriz com a grande média, uma matriz com o efeito dos tratamentos e outra com os erros, no lado direito.
=++ Observa-se que a matriz correspondente aos efeitos dos tratamentos tem 2 graus de liberdade, enquanto a matriz dos erros tem 14 graus de liberdade. A primeira é composta por apenas três elementos diferentes e a soma de todos os seus elementos é igual a zero. A segunda tem as somas das linhas iguais a zero.
» Segue em #03.

Delineamentos inteiramente casualizados

O ponto de partida é um conjunto de dados, ou observações, obtidos a partir de determinado experimento, composto por k amostras independentes, cada uma com um total de n repetições. É necessário avaliar se as observações são oriundas de k populações com a mesma média.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde aparecem k amostras (denominadas como tratamentos) de n observações, onde x_ij é a observação da i-ésima amostra e da j-ésima repetição, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n, com o subíndice '+' indicando o cálculo de uma média no subíndice correspondente. Dois subíndices '+' indicam que a média é calculada sobre os tratamentos e sobre as repetições, correspondendo portanto à "grande média", ou "média geral", que é a média de todas as observações.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com a mesma média, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias idênticas. Existem testes para avaliar a razoabilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é possível que as amostras apresentem números diferentes de observações, ou seja, que se apresentem desbalanceadas.

§ 012 - Parafusos utilizados na fixação de estrutura de aço [DIC] #01

Um típico problema de Delianeamento Inteiramente Casualizado [DIC]... Após o rompimento de um forro em um prédio, os parafusos remanescentes utilizados na fixação da estrutura de aço de suporte do forro foram rompidos para avaliar sua capacidade de resistência. Esses parafusos estavam localizados em três posições de fixação. As forças necessárias para romper os parafusos testados, em valores adimensionalizados, foram as seguintes:

Uma análise de variância com 5% de significância pode indicar se existem diferenças nas médias das amostras obtidas nessas três posições de fixação.
» Resolvido em #02, #03 e #04.

§ 011 - Manômetro instalado em bocal #01

O bocal da figura apresenta três trechos com diâmetros diferentes e um manômetro instalado entre dois desses trechos. O diâmetro do trecho central é o dobro do diâmetro do primeiro trecho e o quádruplo do diâmetro do terceiro trecho, a partir do qual se estabelece o jato livre. Determine o esforço que deve ser suportado pelos parafusos no flange para manter o bocal fixo à tubulação.

§ 010 - Dois reservatórios atuando sobre uma placa disposta na vertical #01

Considere que uma placa plana, disposta na vertical, tem sua face esquerda utilizada para fechar a saída de um tubo conectado a um reservatório e impedindo seu esvaziamento. O nível de água neste reservatório está situado h₁ acima do eixo desse tubo. A face direita dessa placa plana está sujeita a atuação de um jato livre, surgido de um tubo conectado a um segundo reservatório. O nível de água neste reservatório está situado h₂ acima do eixo do tubo de saída. Determine a relação entre as duas alturas para que a placa permaneça fixa em sua posição.

§ 009 - Determinação do ponto de funcionamento de uma bomba #01

Pretende-se instalar uma bomba centrífuga da linha Meganorm, da KSB, na posição indicada na figura, a ser acionada por um motor de indução de quatro pólos. A tubulação de aspiração, de PVC, tem diâmetro de 75 mm e comprimento de 1,06 m. A tubulação de recalque, também de PVC, tem diâmetro de 50 mm e comprimento de 2,30 m. Há um registro de gaveta no priemiro trecho do tubo de recalque. Escolha um modelo de bomba e o diâmetro do rotor para que essa bomba forneça a vazão de 13,5l/s. Que outros modelos de bomba poderiam ser selecionados para este projeto?

§ 008 - Esforço para manter um redutor fixo à tubulação #01

Um redutor está inserido em uma tubulação conforme mostrado na figura. Ele tem um volume interno dado por VI e transporta um líquido com densidade d. A seção de entrada desse redutor, 1, tem diâmetro D₁ e está sujeita à pressão p₁; a seção de saída, 2, tem diâmetro D₂ e está sujeito à pressão p₂. Qual o esforço que deve ser suportado pelos parafusos utilizados no flange para que esse redutor permaneça fixo em sua posição?

§ 007 - Escoamento entre dois reservatórios #01

Uma adutora une dois reservatórios, conforme aparece ilustrado abaixo. Em § 003 se viu que a resolução pode se tornar relativamente complexa quando é necessário determinar a vazão através dessa adutora (conhecidas as características da tubulação e o valor da perda de carga) ou quando é necessário determinar seu diâmetro (conhecido o valor da perda de carga). Estabeleça roteiros para a determinação da vazão e para a determinação do diâmetro. Como esses roteiros seriam afetados pela inclusão de parâmetros econômicos?

Massa específica da água

A tabela ao lado apresenta valores de massa específica, ρ [kg/m³], para a água pura, para temperaturas entre 0^oC (nos estados sólido e líquido) e 100^oC.

§ 006 - Esvaziamento entre dois discos #01

Um tanque é esvaziado por um tubo instalado em sua parte inferior. Este tubo conduz a dois discos paralelos dispostos horizontalmente. O escoamento, passando do tubo para a região entre os dois discos, sofre uma mudança de direção. O escoamento também se torna radial e apresenta características interessantes.
A figura mostra a configuração do problema. O nível de água no tanque está situado uma altura h acima da linha média entre os dois discos. O tanque tem diâmetro d_T e os discos têm diâmetro d_D. Os discos guardam uma distância igual a δ entre si. Qual a vazão de esvaziamento?
Além disso, considerando uma circunferência imaginária de diâmetro d_C situada sobre a linha média entre os dois discos e um ponto C sobre essa circunferência, qual a pressão, p_C, neste ponto?
» Resolvido em #02 e #03.

§ 005 - O Problema dos Três Reservatórios com bombeamento #01

Este problema é uma variante do Problema de Bélanger com uma bomba instalada em um dos condutos, viabilizando o transporte de água de um dos reservatórios para os outros dois, colocados em cota superior. A bomba b está colocada no trecho (1) e insere energia no escoamento suficiente para o enchimento dos reservatórios B e C. É necessário, conhecidas as características de funcionamento da bomba, as vazões nos três tubos. A figura mostra a configuração do problema. A linha de energia para o tubo (1) coincide com a superfície de água no reservatório A e é elevada pela bomba na posição b. As linhas de energia nos outros dois tubos também coincidem com as superfícies de água nos reservatórios B e C. As inhas de energia dos três tubos assumem o mesmo valor na junção j.

§ 004 - Quatro reservatórios e duas junções #01

Este problema é uma variante do Problema de Bélanger com quatro reservatórios e com duas junções unidas entre si por uma adutora. A junção j₁₂ une os reservatórios A e B e a junção j₃₄ une os reservatórios C e D. Essas duas junções são unidas pelo conduto j. É necessário determinar as vazões nesses cinco tubos. A figura mostra a configuração do problema. As linhas de energia nos tubos (1), (2), (3) e (4) coincidem com a superfície de água nos reservatórios e se encontram nas duas junções. As linhas dos trechos (1) e (2) coincidem em j₁₂ e as linhas dos trecho (3) e (4) coincidem em j₃₄. A linha de energia no trecho j une as cotas das linhas de energia em j₁₂ e j₃₄.

Viscosidade do ar

A tabela ao lado apresenta valores de viscosidade dinâmica, μ [kg/m.s], e de viscosidade cinemática, ν [m²/s], para o ar, para temperaturas entre 0^oC e 100^oC.

Viscosidade da água pura

A tabela ao lado apresenta valores de viscosidade dinâmica, μ [kg/m.s], e de viscosidade cinemática, ν [m²/s], para a água pura, para temperaturas entre 0^oC e 100^oC.

Variantes do Problema de Bélanger

O Problema de Bélanger apresenta três reservatórios e apenas uma junção. As variantes desse problema podem incluir mais reservatórios, mais junções, podem incluir bombeamento e abastecimento para redes de consumidores.
Com três reservatórios, a variante mais interessante incluiria três junções interconectadas entre si. Com duas junções (ou mesmo com três, caso não sejam interligadas), o problema se torna trivial (em comparação, claro, com o problema original) se não houver abastecimento de consumidores.
Junções ou nós unindo mais de três reservatórios são bastante incomuns na prática, mas podem ser resolvidos seguindo os mesmos métodos utilizados nos problemas envolvendo três reservatórios e servem na verdade como um exercício, abrindo caminho para a resolução de problemas mais complexos.
Com quatro reservatórios, é possível ter uma, duas, três ou quatro junções, sendo que, com três ou com quatro, se estiverem interconectadas, o problema apresentará um acréscimo considerável em complexidade.
Do mesmo modo, com cinco reservatórios, é possível ter uma, duas, três, quatro ou cinco junções, sendo que, com três, quatro ou cinco, interligadas, a resolução do problema apresentará acréscimo de complexidade.
É possível ainda unir três, quatro ou cinco reservatórios com tubulações em forma de anel. É possível também incluir bombeamento ou ramificações para consumidores em todas essas variantes.

§ 003 - Escoamento entre dois reservatórios (através de tubo com três trechos) #02

A aplicação da equação de Bernoulli entre pontos localizados nas superfícies livres dos reservatórios, denominados A e B, revela que o desnível topográfico Δz entre as superfícies livres estabelece a perda de carga verificada na tubulação que conecta esses reservatórios.
Ao lado, aparece a aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos A e B. As pressões nesses pontos são iguais à pressão atmosférica, que em valor relativo é igual a zero. As velocidades nesses pontos são consideradas iguais a zero, por estarem esses pontos localizados em superfícies livres de reservatórios.
A perda de carga entre os pontos A e B será então igual ao desnível Δz entre as superfícies livres nos dois reservatórios. Como as partículas de líquido se encontram em repouso em grande parte do reservatório, essa perda de carga será igual à perda verificada ao longo do escoamento na tubulação, ou seja, igual á perda h_{p 123}.
Desse modo, conforme é dito em #01, quando são conhecidas as características da tubulação e a vazão entre os reservatórios, é possível determinar a perda de carga por cálculo direto, que permitirá também, se conhecida a cota da superfície livre em um dos reservatórios, a determinação do nível da superfície livre do outro reservatório.
» Segue em #03.

§ 003 - Escoamento entre dois reservatórios (através de tubo com três trechos) #01

Uma tubulação composta por três trechos, conforme aparece ilustrado na figura, une dois reservatórios. Essa tubulação é uma adutora, que é um tubo ou uma sucessão de tubos unidos em série com o objetivo de transportar água por escoamento. [Obviamente os tubos em § 001 (e genericamente em conexões entre reservatórios) também são adutoras.]
Existem três tipos principais de problemas envolvendo adutoras, em função da(s) incógnita(s) a ser(em) determinada(s). O primeiro, quando a vazão e as características da adutora são conhecidas e é necessário determinar a perda de carga total. O segundo, quando a perda de carga total e as características da adutora são conhecidas e é necessário determinar a vazão. E, por fim, o terceiro, quando é necessário determinar o(s) diâmetro(s) da adutora.
Desses três problemas, o primeiro tem resolução trivial, pelo método direto, enquanto os outros dois devem ser resolvidos por método iterativo ou de aproximações sucessivas.
» Resolvido em #02 e #03.
» Simplificado em §007 e em §069.