permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que os efeitos dos fatores A, B e C e de suas interações e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação xij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma das médias de todas as observações, dos efeitos isolados dos fatores A, B e C, nos três primeiros parênteses, do efeito de suas interações dois a dois fatores, no três parênteses seguintes, do efeito da interação conjunta dos três fatores, na soma dos oito termos seguintes, do efeito de repetições, no sétimo parênteses, e do resíduo, no oitavo e último parênteses.A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados dos fatores A, B e C, de suas interações, das repetições e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir,
que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos, SQR é a soma dos quadrados das repetições, SQA é a soma dos quadrados dos efeitos do fator A,
SQB é a soma dos quadrados dos efeitos do fator B, SQC é a soma dos quadrados dos efeitos do fator C, SQAB é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores A e B, SQAC é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores A e B e SQAC é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores A e C, SQBC é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores B e C e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção.
As somas dos fatores A, B e C apresentam respectivamente a-1, b-1 e c-1 graus de liberdade, enquanto a soma das repetições apresenta r-1 graus de liberdade. As somas das interações entre A e B, entre A e C e entre B e C apresentam respectivamente ab-1, ac-1 e bc-1 graus de liberdade. A soma da interação entre A, B e C apresenta abc-1 graus de liberdade.As somas dos quadrados dos fatores A, B e C e de suas interações e a soma das repetições, assim como a soma dos quadrados dos erros, podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e as somas dos quadrados dos tratamentos e das repetições. A soma dos erros apresenta (abc-1)(r-1) graus de liberdade. 
A soma dos quadrados dos efeitos conjuntos dos fatores A, B e C é igual à diferença da soma dos quadrados dos tratamentos e das somas dos quadrados dos efeitos dos fatores A, B e C isoladamente e de seus efeitos conjuntos dois a dois. 
A soma SOi+++ corresponde à soma das observações associadas ao fator A, a soma SO+j++ corresponde à soma das observações associadas ao fator B, a soma SO++k+ corresponde à soma das observações associadas ao fator C, a soma SO+++l corresponde à soma das observações em cada repetição, enquanto a soma SO++++ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos. É importante ressaltar que esse desenvolvimento considerou três fatores como um exemplo para o caso genérico de um experimento com mais de dois fatores.
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