§ 283 - Diâmetro de tubo de concreto para escoamento de óleo #03

» O enunciado do problema está em #01.

§ 283 - Diâmetro de tubo de concreto para escoamento de óleo #02

O óleo SAE 10, segundo o código estabelecido para Society of Automotive Engineers (SAE), apresenta a 20^oC uma viscosidade absoluta de 8,5x10^-5 m²/s.
» Segue em #03.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 283 - Diâmetro de tubo de concreto para escoamento de óleo #01

Um tubo de concreto com 300 m de comprimento será utilizado para transportar óleo tipo SAE10. Determine o diâmetro para esse tubo de modo a atender a demanda de transporte de 14,2 l/s com uma perda de carga máxima de 24 kPa.
» Resolvido em #02 e #03.

§ 249 - Adutora com trecho sob pressão negativa #01

Uma adutora de aço com 400 mm de diâmetro e 2 km de comprimento conduz água a 10^oC entre dois reservatórios. O desnível entre os reservatórios é de 30 m. A tubulação deve superar um pequeno obstáculo do terreno aproximadamente na metade de sua extensão. Determine a altura máxima de locação do tubo acima do nível do reservatório inferior.
Considere a instalação de uma bomba a 500 m do reservatório superior, utilizada para adcionar pressão ao escoamento, quando necessário. Determine a energia de pressão que deverá ser fornecida pela bomba poara que a vazão seja dobrada. Selecione uma bomba para ser instalada nessas condições.

Experimentos 2n fatoriais, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. Os valores para F são obtidos dividindo os quadrados médios dos tratamentos, das linhas e das colunas pelo quadrado médio dos erros. Esses valores de F devem ser comparados com os valores fornecidos pela distribuição F para os graus de liberdade, respectivamente, dos tratamentos e dos erros, das linhas e dos erros e das colunas e dos erros, para a significância pretendida. Caso os valores obtidos sejam inferiores aos valores fornecidos pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso seja superior, a hipótese nula deve ser rejeitada.

Experimentos multi fatoriais, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. Os valores para F são obtidos dividindo os quadrados médios dos fatores A, B e C e de suas interações, além das repetições, pelo quadrado médio dos erros.
Neste delineamento, assim como no anterior, aparecem Fs para os efeitos isolados dos fatores e para os efeitos de suas interações. Ao lado estão as equações para o cálculo dos valores de F correspondentes aos efeitos isolados dos fatores A, B e C, obtidos respectivamente dividindo os quadrados médios dos efeitos dos fatores A, B e C pelos seus respectivos graus de liberdade. Mais abaixo, aparece também a equação para o cálculo do valor de F correspondente ao efeito das repetições, obtido de modo semelhante pela divisão do quadrado médio das repetições pelo respectivo número de graus de liberdade.
Ao lado estão as equações para o cálculo dos valores de F correspondentes aos efeitos das interações entre os fatores A, B e C, obtidos respectivamente dividindo os quadrados médios dos efeitos conjuntos dos fatores A e B, dos fatores A e C e dos fatores B e C pelos seus respectivos graus de liberdade. Mais abaixo, aparece também a equação para o cálculo do valor de F correspondente ao efeito conjunto dos três fatores, obtido de modo semelhante pela divisão do quadrado médio dos efeitos conjuntos dos fatores A, B e C pelo respectivo número de graus de liberdade.
Os valores de F devem ser comparados com os valores fornecidos pela distribuição F para os graus de liberdade, respectivamente, dos efeitos dos fatores A,B e C e dos erros, dos efeitos de suas interações e dos erros, e dos efeitos das repetições e dos erros, para a significância pretendida. Caso os valores obtidos sejam inferiores aos valores fornecidos pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso sejam superiores, a hipótese nula deve ser rejeitada.
É importante ressaltar que esse desenvolvimento considerou três fatores como um exemplo para o caso genérico de um experimento com mais de dois fatores.

Experimentos com dois fatores, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. Os valores para F são obtidos dividindo os quadrados médios dos efeitos do fator A, do fator B, de seu efeito conjunto e das repetições pelo quadrado médio dos erros. Esses valores de F devem ser comparados com os valores fornecidos pela distribuição F para os graus de liberdade, respectivamente, do fator A e dos erros, do fator B e dos erros, da interação entre esses fatores e dos erros e, finalmente, das repetições e dos erros, para a significância pretendida. Caso os valores obtidos sejam inferiores aos valores fornecidos pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso sejam superiores, a hipótese nula deve ser rejeitada.

§ 221 - Quatro reservatórios e três junções interligadas entre si #01

Este problema é uma variante do Problema de Belanger com quatro reservatórios e três junções interligadas entre si. Os tubos (1), (2), (3) e (4) unem os reservatórios A, B, C e D, repectivamente, às junções j₁, j₂ e j₃₄, unidas pelos tubos j₁₂, j₂₃₄ e j₃₄₁. É necessário determinar as vazões nos sete tubos.
A figura mostra a configuração do problema. As linhas de energia nos tubos coincidem com a superfície de água nos reservatórios e assumem nas junções os mesmos valores das linhas de energia nos tubos.

Experimentos 2n fatoriais, decomposição de observações

§ 216 - Diâmetro de tubo para conduzir solução de água e glicerol #01

É necessário enviar 5 l/min de uma solução de água e glicerol, sob uma pressão de 50 mmHg, a uma distãncia de 2,5 m. A solução a ser transportada tem densidade 1,10 e viscosidade cinemática igual a 1,03x10^-5 m²/s. Determine o diãmetro do tubo.

Experimentos multi fatoriais, decomposição de observações

O modelo apresentado para os experimentos multi fatoriais pode ser re escrito como aparece abaixo:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que os efeitos dos fatores A, B e C e de suas interações e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma das médias de todas as observações, dos efeitos isolados dos fatores A, B e C, nos três primeiros parênteses, do efeito de suas interações dois a dois fatores, no três parênteses seguintes, do efeito da interação conjunta dos três fatores, na soma dos oito termos seguintes, do efeito de repetições, no sétimo parênteses, e do resíduo, no oitavo e último parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados dos fatores A, B e C, de suas interações, das repetições e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos, SQR é a soma dos quadrados das repetições, SQA é a soma dos quadrados dos efeitos do fator A, SQB é a soma dos quadrados dos efeitos do fator B, SQC é a soma dos quadrados dos efeitos do fator C, SQAB é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores A e B, SQAC é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores A e B e SQAC é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores A e C, SQBC é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores B e C e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção.
As somas dos fatores A, B e C apresentam respectivamente a-1, b-1 e c-1 graus de liberdade, enquanto a soma das repetições apresenta r-1 graus de liberdade. As somas das interações entre A e B, entre A e C e entre B e C apresentam respectivamente ab-1, ac-1 e bc-1 graus de liberdade. A soma da interação entre A, B e C apresenta abc-1 graus de liberdade.
As somas dos quadrados dos fatores A, B e C e de suas interações e a soma das repetições, assim como a soma dos quadrados dos erros, podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e as somas dos quadrados dos tratamentos e das repetições. A soma dos erros apresenta (abc-1)(r-1) graus de liberdade. A soma dos quadrados dos efeitos conjuntos dos fatores A, B e C é igual à diferença da soma dos quadrados dos tratamentos e das somas dos quadrados dos efeitos dos fatores A, B e C isoladamente e de seus efeitos conjuntos dois a dois. A soma SO_i+++ corresponde à soma das observações associadas ao fator A, a soma SO_+j++ corresponde à soma das observações associadas ao fator B, a soma SO_++k+ corresponde à soma das observações associadas ao fator C, a soma SO_+++l corresponde à soma das observações em cada repetição, enquanto a soma SO₊₊₊₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.
É importante ressaltar que esse desenvolvimento considerou três fatores como um exemplo para o caso genérico de um experimento com mais de dois fatores.

§ 151 - Números adimensionais típicos na Mecânica dos Fluidos e Hidráulica #04

Entre os expoentes da série de potências, aqueles que não são somados, os números inteiros, já podem ser passados para o lado esquerdo da equação para compor o número de Euler.
Depois reúnem-se as grandezas sob o expoente da viscosidade dinâmica, q, compondo o número de Reynolds.
Depois, ainda, reúnem-se as grandezas sob o expoente da velocidade de propagação de ondas de pressão, n, formando o número de Mach.
Depois, ainda mais uma vez, reúnem-se as grandezas sob o expoente da aceleração da gravidade, o, para formar o número de Froude. Por fim, reúnem-se as grandezas restantes, sob expoente da tensão superficial, resultando no número de Weber.
A série de potências pode então ser escrita em função dos próprios números adimensionais, permitindo ainda a apresentação de uma nova função f', agora envolvendo os números adimensionais procurados.

» O enunciado do problema está em #01.

Experimentos com dois fatores, decomposição de observações

O modelo apresentado para os experimentos com dois fatores pode ser re escrito como aparece abaixo:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que os efeitos dos fatores A e B e de sua interação e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma das médias de todas as observações, dos efeitos isolados dos fatores A e B, nos dois primeiros parênteses, do efeito de sua interação, no terceiro parênteses, do efeito de repetições, no quarto parênteses, e do resíduo, no quinto e último parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados dos fatores A e B, de sua interação, das repetições e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos, SQR é a soma dos quadrados das repetições, SQA é a soma dos quadrados dos efeitos do fator A, SQB é a soma dos quadrados dos efeitos do fator B, SQAB é a soma dos quadrados dos efeitos da interação entre os fatores A e B e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção. As somas dos fatores A e B e de sua interação apresentam respectivamente a-1, b-1 e (a-1)(b-1) graus de liberdade, enquanto a soma das repetições apresenta r-1 graus de liberdade.
As somas dos quadrados dos fatores A e B e de sua interação e a soma das repetições, assim como a soma dos quadrados dos erros, podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e as somas dos quadrados dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições. A soma dos erros apresenta (ab-1)(r-1) graus de liberdade.
A soma SO_i++ corresponde à soma das observações associadas ao fator A, a soma SO_+j+ corresponde à soma das observações associadas ao fator B, a soma SO_++k corresponde à soma das observações em cada repetição, enquanto a soma SO₊₊₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.

§ 151 - Números adimensionais típicos na Mecânica dos Fluidos e Hidráulica #03

Será possível estabelecer três equações, para os expoentes das três dimensões básicas exigidas para a descrição dimensional do problema.

As três equações envolvem sete variáveis. Desse modo, será necessário escrever quatro delas em função de outras três.

As escolhidas são aquelas que correspondem aos expoentes das grandezas que aparecem várias vezes nos números adimensionais que deverão "surgir".

A série de potências fica então escrita conforme aparece ao lado.
» Segue em #04.
» O enunciado do problema está em #01.

Número de Weber #01

É um número adimensional que dá a proporção entre forças de inércia e forças representativas da tensão superficial. É calculado pela expressão ao lado, onde ρ [kg/m³] é a massa específica, V [m/s] é a velocidade, L [m] é um comprimento característico e σ [N/m] é a tensão superficial.

Número de Mach #01

É um número adimensional que dá a proporção entre forças de inércia e forças representativas da compressibilidade do fluido. É calculado pela expressão ao lado, onde V [m/s] é a velocidade e c [m/s] é a velocidade de propagação de ondas de pressão.

§ 151 - Números adimensionais típicos na Mecânica dos Fluidos e Hidráulica #02

Uma das oito grandezas indicadas em #01 deve ser escolhida como variável dependente. A escolha pode recair sobre a pressão. Desse modo, é possível escrever a expressão acima. A escolha não afetará o resultado final.
A função f, acima, pode ser escrita com o auxílio de um desenvolvimento em série de potências, onde será necessário reordenar os termos e determinar as relações existentes entre os expoentes, como será feito a seguir.
Essas relações serão conhecidas exigindo homogeneidade dimensional.

» Segue em #03.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 184 - Manômetro conectado a tanque com água e óleo #01

Um reservatório aberto contém uma altura h de água e, sobre ela, outra camada de mesma altura de óleo com densidade 0,82. Se a leitura em um manômetro colocado no fundo do reservatório deve ser de 16 mm de mercúrio, determine a altura h.

Número de Froude #01

É um número adimensional que dá a proporção entre forças de inércia e forças representativas da ação da gravidade. É calculado pela expressão ao lado, onde V [m/s] é a velocidade, g [m/s²] é a aceleração da gravidade e L [m] é um comprimento característico.

Experimentos 2n fatoriais, modelo e hipóteses

Número de Euler #01

É um número adimensional que dá a proporção entre forças de inércia e forças de pressão. É calculado pela expressão ao lado, onde p [N/m²] é a pressão, ρ [kg/m³] é a massa específica e V [m/s] é a velocidade.

Número de Reynolds #01

É um número adimensional que dá a proporção entre forças de inércia e forças representativas de fricção. É calculado pela expressão ao lado, onde ρ [kg/m³] é a massa específica, V [m/s] é a velocidade, L [m] é um comprimento característico e μ [kg/m.s] é a viscosidade dinâmica.

§ 169 - Cinco reservatórios e três junções interligadas entre si #01

Este problema é uma variante do Problema de Belanger com cinco reservatórios e três junções interligadas entre si. Os tubos (1), (2), (3), (4) e (5) unem os reservatórios A, B, C, D e E, repectivamente, às junções j_l, j₂ e j₃₄, unidas pelos tubos j₁₂₃, j₂₃₄₅ e j₄₅₁. É necessário determinar as vazões nos oito tubos.
A figura mostra a configuração do problema. As linhas de energia nos tubos coincidem com a superfície de água nos reservatórios e assumem nas junções os mesmos valores das linhas de energia nos tubos.

Experimentos 2n fatoriais

§ 151 - Números adimensionais típicos na Mecânica dos Fluidos e Hidráulica #01

Considerando que os problemas típicos de Mecânica dos Fluidos e Hidráulica envolvam o comprimento L (ou eventualmente um diâmetro ou outro comprimento característico), a velocidade V, a aceleração da gravidade g, a velocidade de propagação de ondas de pressão c, a pressão p, a massa específica ρ, a viscosidade μ e a tensão superficial σ, determine os números adimensionais envolvidos nesses problemas.
» Resolvido em #02, #03 e #04.