§ 143 - Quatro reservatórios e quatro junções interligadas entre si #01

Este problema é uma variante do Problema de Belanger com quatro reservatórios e quatro junções unidas entre si. Os tubos (1), (2), (3) e (4) unem os reservatórios A, B, C e D, repectivamente, às junções j₁, j₂, j₃ e j₄, unidas pelos tubos j₁₂, j₂₃, j₃₄ e j₄₁. É necessário determinar as vazões nos oito tubos.
A figura mostra a configuração do problema. As linhas de energia nos tubos coincidem com a superfície de água nos reservatórios e assumem nas junções os mesmos valores das linhas de energia nos tubos.

§ 030 - Velocidade em teste em túnel de vento com o mesmo fluido #02

A semelhança é obtida com a reprodução do número de Reynolds. Considerando que deve ser empregado o mesmo fluido tanto para o escoamento em torno do protótipo quanto para o escoamento em torno do modelo, a expressão abaixo relaciona as velocidades e permite determinar a velocidade necessária para os testes no túnel de vento.
Como a velocidade do protótipo é bastante alta, mesmo que ainda seja menor que a velocidade de propagação de ondas de pressão, a reprodução do número de Reynolds exigirá uma velocidade do ar no túnel de vento que é exageradamente alta. Uma velocidade que não premitirá a reprodução do mesmo tipo de escoamento e que se mostra, na verdade, absurda. Uma velocidade, inclusive, atualmente inalcançável em túneis de vento!
» O enunciado do problema está em #01.

§ 134 - Arrasto sobre um torpedo #01

Estabeleça a relação funcional para o arrasto de um torpedo, pretendendo que sirva de base para estudo em modelo reduzido. Considere como parâmetros o comprimento L do torpedo, sua velocidade V, a densidade ρ e a viscosidade μ da água.

Experimentos multi fatoriais, modelo e hipóteses

É importante ressaltar que esse desenvolvimento considerou três fatores como um exemplo para o caso genérico de um experimento com mais de dois fatores.

Experimentos multi fatoriais

É possível expandir o raciocínio do delineamento anterior para uma quantidade maior de fatores, tornando o modelo bastante mais complexo, em função do número de fatores considerado, e incluindo combinações cada vez mais complexas de interações entre os fatores.

É importante ressaltar que esse desenvolvimento considerou três fatores como um exemplo para o caso genérico de um experimento com mais de dois fatores.

§ 118 - Viscosidade de fluido para semelhança #01

Um óleo com viscosidade cinemática de 4,65x10^-5 m²/s deve ser utilizado em um protótipo no qual as forças viscosas e as forças de gravidade são importantes. Um modelo em escala 1:5 será utilizado para desenvolver alguns aspectos desse protótipo. Que viscosidade do fluido utilizado nos testes com o modelo será necessária para que seja possível alcançar semelhanças de Froude e de Reynolds?

Experimentos com dois fatores, modelo e hipóteses

As observações x_ijk, conforme organizadas para experimentos em dois fatores, podem ser escritas como aparece acima, onde cada observação é decomposta como a soma da média de todas as observações, do efeito do fator A, do efeito fator B, do efeito da interação entre os dois fatores, do efeito das repetições e de uma componente aleatória, i variando de 1 a n, j variando de 1 a n e k variando de 1 a r.
A hipótese nula deve estabelecer que os efeitos do fator A são iguais a zero, ou seja, α₁=α₂=...=α_k=0, que os efeitos do fator B são iguais a zero, ou seja, β₁=β₂=...=β_k=0 e que os efeitos das repetições são iguais a zero, ou seja, γ₁=γ₂=...=γ_k=0. A hipótese alternativa deve estabelecer que pelo menos um dos efeitos dos fatores A e B seja diferente de zero e que pelo menos um dos efeitos das repetições seja diferente de zero.

§ 099 - Submarino em túnel de vento? #02

A semelhança é obtida com a reprodução do número de Reynolds. A expressão ao lado permite estabelecer uma expressão que determina o valor necessário para a velocidade do ar no túnel de vento.
Como a viscosidade do ar é muito inferior à viuscosidade da água do mar, a velocidade necessária resulta alta demais.
A velocidade obtida é muito maior que a velocidade de propagação de ondas de pressão, correspondendo a escoamento supersônico e não permitindo o estudo do escoamento que se estabelecerá em torno do protótipo do submarino.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 082 - Automóvel em túnel de vento #02

A semelhança é obtida com a reprodução do número de Reynolds. A expressão ao lado permite detemrinar a velocidade necessária para o ar no túnel de vento.
A semelhança de Froude permite determinar sobre o protótipo as partir do valor medido nos testes com o modelo reduzido. A potência necessária para vencer esse arrasto é obtida multiplicando o valor obtido para o protótipo pela velocidade correspondente.
Essa potência não é a potência total necessária para coocar o veículo em movimento, mas apenas a porência necessária para vencer o arrasto aerodinâmico.
»: O enunciado do problema está em #01.

§ 099 - Submarino em túnel de vento? #01

Um modelo de submarino em escala 1:40 deve ser testado em túnel de vento. É necessário determinar o arrasto do submarino quando estiver se deslocando a velocidade de 9 nós em águas oceânicas a 5^oC. Qual deverá ser a velocidade do ar no túnel de vento?
» Resolvido em #02.

§ 097 - Quatro reservatórios e uma junção #01

Este problema é uma variante do Problema de Belanger com quatro reservatórios. Os tubos (1), (2), (3) e (4) unem os reservatórios A, B, C e D, repectivamente, à junção j. É necessário determinar as vazões nos quatro tubos. Conjuntos de adutoras unindo vários reservatórios são pouco usuais na prática, mas podem ser resolvidos do mesmo modo que o problema clássico dos Três Reservatórios.
A figura mostra a configuração do problema. As linhas de energia nos tubos coincidem com a superfície de água nos reservatórios e se encontram na junção, assumindo nesse ponto um mesmo valor.

Experimentos com dois fatores

É possível identificar os efeitos das interações entre os fatores identificados e isolados nos delineamentos anteriores (DIC, DBC e DQL). Desse modo, organizando as observações conforme a tabela abaixo e considerando a atuação de dois fatores A e B, as observações x_ij estariam sujeitas aos efeitos desses dois fatores e também estariam sujeitas aos efeitos de sua interação.
A elaboração do modelo e o cálculo a partir da decomposição das observações será levado adiante a partir da organização das observações conforme a tabela abaixo, onde os diferentes níveis aparecem listados em seqüência e as diferentes colunas representam as repetições do experimento.
É usual denominar A e B como fatores e denominar seus possíveis valores, A₁, A₂ e A₃, B₁, B₂ e B₃, como níveis.

§ 087 - [E2F] #01

Um típico Experimento com Dois Fatores [E2F]...

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§ 082 - Automóvel em túnel de vento #01

Um modelo de automóvel em escala 1:6 é testado em túnel de vento para desenvolvimento de um modelo que já se encontra no mercado. O objetivo é a redução do consumo de combustível. Os testes serão realizados para reproduzir condições de uso do protótipo em velocidades de 48 km/h e de 60 km/h. Para condições dinamicamente semelhantes, foi medido no modelo um arrasto de 320 N para a menor velocidade. Qual deve o arrasto verificado no protótipo? Quais devem ser os valores encontrados para a maior velocidade? Que potências serão necessárias para superar esses arrastos?
» Resolvido em #02.

§ 069 - Escoamento entre dois reservatórios (através de tubo com dois trechos) #01

Uma adutora composta por dois trechos une dois reservatórios, conforme aparece ilustrado abaixo. Em § 003 se viu que a resolução pode se tornar relativamente complexa quando é necessário determinar a vazão através dessa adutora (conhecidas as características da tubulação e o valor da perda de carga) ou quando é necessário determinar seu diâmetro (conhecido o valor da perda de carga). Estabeleça um roteiro para determinação dos diâmetros, incluindo parâmetros econômicos e restrições do terreno.

§ 068 - Pressão em teste em túnel de vento #01

Um modelo de avião é construído com dimensões 1/18 das dimensões equivalentes de seu protótipo. Pretende-se testá-lo em um túnel de vento pressurizável com a mesma velocidade que será alcançada pelo protótipo. Se a semelhança de Reynolds deve ser obtida com ar a mesma temperatura das condições de vôo que o protótipo encontrará, qual deve ser a pressão para os testes no túnel de vento?

§ 061 - Perfil de velocidades em escoamento laminar ao longo de plano inclinado #03

» O enunciado do problema está em #01.

§ 061 - Perfil de velocidades em escoamento laminar ao longo de plano inclinado #02

» O enunciado do problema está em #01.

§ 061 - Perfil de velocidades em escoamento laminar ao longo de plano inclinado #01

» Resolvido em #02 e #03.

§ 048 - Adutora de ferro fundido unindo dois reservatórios #03

Adotando-se a rugosidade de 0,26 mm para o ferro fundido a o valor de 1,31x10^-6 m²/s para a viscosidade cinemática, e partindo de 1,0 m/s para a velocidade no segundo trecho da tubulação, obtém-se 0,44 m/s para a velocidade no primeiro trecho e 1,92 m/s como a nova velocidade para o primeiro trecho.
A tabela abaixo mostra a seqüência de resultados...
Até a segunda casa depois da vírgula, a terceira rodada de cálculos é suficiente, Para ir até a terceira casa, uma rodada a mais fornece o valor de 1,957 m/s.
Com esse valor, a vazão resulta 0,38 m³/s ou 384,2 litros por segundo.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 053 - Perfil de velocidades em escoamento laminar em conduto de seção circular #04

» O enunciado do problema está em #01.

§ 053 - Perfil de velocidades em escoamento laminar em conduto de seção circular #03

» O enunciado do problema está em #01.

§ 053 - Perfil de velocidades em escoamento laminar em conduto de seção circular #02

» O enunciado do problema está em #01.

§ 053 - Perfil de velocidades em escoamento laminar em conduto de seção circular #01

» Resolvido em #02, #03 e #04.

§ 052 - Três reservatórios e três junções interligadas entre si #01

Este problema é uma variante do Problema de Belanger com três reservatórios e três junções unidas entre si. Os tubos (1), (2) e (3) unem os reservatórios A, B e C, repectivamente, às junções j₁, j₂ e j₃. É necessário determinar as vazões nos seis tubos. As junções j₁ e j₂ são unidas pela adutora j₁₂, as junções j₂ e j₃ pela adutora j₂₃ e as junções j₃ e j₁ pela adutora j₃₁.
A figura mostra a configuração do problema. As linhas de energia nos tubos coincidem com a superfície de água nos reservatórios e assumem nas junções os mesmos valores das linhas de energia nos tubos.

Pressão de vapor da água

A tabela ao lado apresenta valores de pressão de vapor, p [atm], p [N/m²], para a água pura, para temperaturas entre -5^oC e 110^oC.

§ 047 - Diâmetro de adutora de concreto que une dois reservatórios #03

A rugosidade de tubos de concreto pode assumir usualmente valores desde 0,25 mm até 3,00 mm, devido às características dos componentes utilizados e as técnicas de produção.
Adotando-se o valor de 1,50 mm e dando início às iterações para determinação do diâmetro com o valor de 1,0 m, obtém-se 0,0015 para a rugosidade relativa e 7,62x10⁶ para o número de Reynolds. Com esses dois valores, obtém-se 0,0218 para o fator de atrito. Da equação que relaciona o fator de atrito com o diâmetro obtém-se o novo valor para o diâmetro, 2,469 m, que deve ser utilizado como o valor do diâmetro para a próxima rodada de cálculos.
Na quarta iteração já é obtido um valor idêntico ao anterior até o segundo dígito depois da vírgula, 2,37 m. Avançando ainda mais uma rodada, obtém-se o valor de 2,371 m. É possível adotar o valor arredondado de 2,400 m. O cálculo pode ser obviamente concluído com um número menor de iterações se o valor inicial for mais próximo do valor final. Se o primeiro valor para o diâmetro fosse 2,000 m, o cálculo seria finalizado já na terceira rodada.
Caso o problema fosse resolvido conforme é sugerido por HWANG (1984), exigiria sete rodadas até que fosse determinado o valor final do diâmetro e sua eficiência dependeria em parte do método adotado para o estabelecimento do valor do diâmetro a ser utilizado na rodada seguinte.
Enfim, está determinado o diâmetro... 2,4 m.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 048 - Adutora de ferro fundido unindo dois reservatórios #02

O desnível entre os dois reservatórios estebelece a perda de carga verificada na tubulação que une os reservatórios. A perda de carga total será igual à soma das perdas lineares nos dois trechos de tubulação e das perdas singulares verificadas na entrada do tubo, no primeiro trecho, na redução que conecta os dois trechos e na saída da tubulação, no segundo trecho. O coeficiente de perda na entrada do tubo, κ_et, é igual a 0,50; o coeficiente na redução brusca, κ_rb, a 0,24; o coefiente na saída, κ_st, a 1,00.
A equação acima, que dá a perda de carga total, h_p, deve ser re escrita para uma das velocidades, para fornecer a equação que servirá de base para o processo iterativo que permitirá a solução do problema. Como nessa equação aparecem dois dos cinco termos do lado direito relacionados com a velocidade no primeiro trecho, V₁, e três relacionados com a velocidade no segundo trecho, V₂, é natural optar pela segunda velocidade.
Substituindo então V₁ por V₂ na equação acima, e re escrevendo-a em função de V₂, obtém-se a equação abaixo, que permite determinar a velocidade V₂.
Nessa equação aparecem, como parâmetros a serem calculados, apenas os fatores de atrito f₁ e f₂. Substituindo os valores conhecidos nessa equação é possível chegar à equação ao lado, que relaciona a velocidade V₂ e os fatores de atrito f₁ e f₂ e será a base do processo iterativo.
» Segue em #03.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 051 - Tanque com dois tubos ramificados #01

A figura mostra um tanque fechado contendo álcool até determinado nível, com a pressão sobre a superfície de álcool indicada pelo manômetro metálico A. Na parede desse tanque está conectado um tubo, com uma ramificação em forma de U. Esses dois tubos têm sua extremidade superior fechada, tendo sido, nos dois tubos, retirado todo o ar. Na ramificação em U há mercúrio, atingindo desnível Δh nas duas colunas. É necessário determinar as alturas x e y.
» Resolvido em #02 e #03.

§ 050 - Três fórmulas de secagem rápida [DIC] #01

Um caso de Delineamento Interiamente Casualizado [DIC]. Considere um estudo de desenvolvimento de fórmulas para uma cola que deve apresentar menores tempos para cura. As observações obtidas para as três fórmulas (A, B e C) foram as seguintes:
Uma análise de variância com 5% de siginificância pode indicar se existem diferenças nas médias dessas observações.

§ 047 - Diâmetro de adutora de concreto que une dois reservatórios #02

As perdas singulares podem ser desprezadas, já que a razão entre o comprimento da adutora, L, e seu diâmetro, D, é muito maior que 1.000.
Desse modo, a perda de carga total pode ser escrita apenas em função da perda de carga linear, permitindo o estabelecimento de uma relação entre o fator de atrito, f, e o diâmetro, D.
É necessário lembrar que o desnível entre os dois reservatórios estabelece o valor da perda de carga. É necessário também substituir na expressão para perda de carga a relação entre vaz~çao e velocidade.
A equação obtida para a relação entre o fator de atrito e o diâmetro da tubulação será a base do processo iterativo.
» Segue em #03.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 049 - Fator de atrito e perda de carga em tubo de PVC #01

Considere um tubo de PVC com 100 mm de diâmetro transportando 20 litros por segundo de água a temperatura de 21^oC. Determine o fator de atrito e a perda de carga para um trecho de 12 metros desse tubo. De que modo (desprezando perdas de carga singulares) esses valores seriam alterados se esse trecho de 12 metros fosse composto por 6 metros com 50 mm de diâmetro e outros 6 metros com 100 mm de diâmetro?
» Resolvido em #02, #03 e #04.

§ 048 - Adutora de ferro fundido unindo dois reservatórios #01

Uma adutora de ferro fundido liga dois reservatórios. O desnível entre os reservatórios é de 10 m. A tubulação é composta de dois trechos, conectados entre si por uma redução brusca, o primeiro com diâmetro de 750 mm e comprimento de 1500 m, o segundo com diâmetro de 500 mm e comprimento de 1000 m. Determine a descarga.
» Resolvido em #02 e #03.

§ 047 - Diâmetro de adutora de concreto que une dois reservatórios #01

Uma adutora de concreto é construída para conduzir 6 m³/s de água entre dois reservatórios, afastados entre si por uma distância de 17 km. Sendo de 12 m o desnível entre os dois reservatórios, determine o diâmetro da tubulação.
» Resolvido em #02 e #03.

§ 046 - Medida de diferença de pressões com precisão #01

Medidas de diferença de pressão podem ser obtidas com precisão por meio do dispositivo mostrado na figura. As massas específicas têm valores bastante próximos. Determine uma expressão para a proporcionalidade entre h e p_A-p_B se os reservatórios forem suficientemente grandes.
» Resolvido em #02.

§ 045 - Vertedouro em modelo reduzido #01

Um vertedouro de barragem foi testado utilizando semelhança de Froude com um modelo em escala 1:20. O escoamento no modelo apresentou, em determinado experimento, velocidade de 0,7 m/s e descarga de 0,06 m³/s. Quais devem ser os valores correspondentes de velocidade e descarga para o protótipo?

§ 044 - Tanque com dois líquidos e dois piezômetros #01

O tanque da figura contém 0,30 m de um líquido A, com densidade 2,36, e 1,70 m de um líquido B, com densidade 0,72. Os dois piezômetros estão colocados de modo que o líquido A se eleva no piezômetor A e o líquido B se eleva no piezômetro B. O líquido A atinge, por vasos comunicantes, o nível 2,00 m no piezômetro A. Que nível o líquido B atinge no piezômetro B?
» Resolvido em #02.

§ 043 - Elevação capilar entre dois tubos #01

Um tubo, com diâmetro externo D₁, é colocado concentricamente no interior de outro tubo, com diâmetro externo D₂, ambos com parede de tubo cm espessura e. Esses dois tubos têm mesmo comprimento e extremidades abertas e são mergulhados até sua meia altura em um líquido com tensão superficial σ.
A figura apresenta a configuração do problema. Supondo que o líquido no qual foram mergulhados "molhe" a parede dos tubos e que o comprimento dos tubos que ficou acima da superfície livre é maior do que a elevação capilar verificada, determine a relação entre as elevações capilares verificadas no tubo interno e na região entre os dois tubos. Em qual dessas duas regiões a elevação capilar será maior?
» Resolvido em #02.

§ 042 - Tronco de cone sólido em movimento giratório #01

Um óleo com viscosidade μ preenche o pequeno espaçamento Y existente entre o tronco de cone sólido, com movimento giratório com velocidade ω, e a parte interna do cone sobre o qual está montado.
A figura apresenta a configuração do problema. Determine uma expressão para o torque T necessário para colocar o tronco de cone em movimento. Despreze a fricção do fluido com a base da peça em movimento.

§ 041 - Aceleração de uma partícula em um campo de velocidades #01

Considere o escoamento unidimensional ao longo da linha de comprimento L, conforme aparece na figura, com a velocidade dada pela equação abaixo. Determine as acelerações segundo as abordagens lagrangiana e euleriana. Esses resultados podem ser diferentes?

§ 040 - Comporta semi circular invertida #01

Uma comporta semi circular invertida é instalada a 45^o em relação à superfície de água. O topo da comporta encontra-se a 5m abaixo da superfície livre. Determine a força resultante das forças de pressão e o centro de pressões da comporta.

§ 039 - Fixação de bóia e elevação de maré #01

Uma esfera maciça de bronze de 30cm de diâmetro é utilizada para fixar uma bóia cilíndrica em água do mar. A bóia, que tem altura de 2m, diâmetro de 0,5m e uma densidade igual a 0,5, é amarrada à esfera por uma de suas bases. Qual deverá ser a elevação h da maré para retirar a âncora do fundo, supondo o cabo esticado e considerando um momento em que a bóia tenha seus 30cm inferiores submersos?
A figura apresenta a configuração do problema.

§ 038 - Novo processo de fabricação de cabos #01

A tensão de ruptura dos cabos produzidos por determinado fabricante apresenta a média de 1800kg, com desvio padrão de 100kg. Com o uso de um novo processo de fabricação, pretende-se que esse valor seja elevado. Para testar se o novo método é efetivo, foi ensaiada uma amostra de 50 cabos, obtendo-se uma média de 1850kg. É possível declarar a efetividade do novo método com uma significância de 1%?

§ 037 - Vida média de lâmpadas fluorescentes #01

A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas fluorescentes, produzidas por determinada companhia, foi calculada como sendo igual a 1570 horas, com um desvio padrão de 120 horas. Teste a hipótese da vida média ser de 1600 horas, em face da alternativa de ser diferente desse valor, adotando 5% e 1% de significância.

§ 036 - A moeda é honesta? #01

Considere que, para avaliar se determinada moeda é honesta, foi adotada a seguinte regra de decisão: [1] Aceitar a hipótese de determinada moeda ser honesta, se o número de caras obtido em uma amostra de 100 lances estiver entre 40 e 60, inclusive; [2] Rejeitar, em caso contrário.
Determine a probabilidade da hipótese ser rejeitada, quando ela for realmente correta. Interprete graficamente a regra de decisão e o resultado obtido. Que conclusões seriam obtidas de uma amostra de 100 lances que resultar em 58 caras? E de outra que resultar em 60 caras? Seria possível chegar a conclusões erradas nesses dois casos?
Planeje uma regra de decisão para uma amostra de 64 lances para 5% e para 1% de significãncia. Como se planejaria uma regra de decisão, neste caso, para evitar um erro do tipo II?

§ 035 - Vazão em Venturi em função de leitura em manômetro diferencial #01

Determine uma expressão que relacione a vazão Q através do Venturi da figura com a leitura h obtida no manômetro diferencial.

§ 034 - Descrição de escoamento em torno de cilindro #01

§ 033 - Potência eólica disponível em determinado local #01

§ 032 - Semelhança de testes em escala reduzida com modelo de submarino #01

§ 031 - Exemplo de escoamento potencial #01

Considere um campo de velocidades descrito pelas funções u=u(x,y) e v=v(x,y) dadas ao lado. Determine a função de corrente e o campo de acelerações correspondente. Se for possível, determine também a função potencial de velocidades. Represente graficamente as linhas de corrente e as linhas equipotenciais.

§ 030 - Velocidade em teste em túnel de vento com o mesmo fluido #01

Um modelo de avião é produzido em escala 1:20. Se o protótipo deve voar a velocidade de 425 mph, qual deve ser a velocidade no túnel de vento para que seja atingida semelhança de Reynolds utilizando ar com as mesmas características encontradas pelo protótipo?
» Resolvido em #02.

§ 029 - Jato incidindo sobre um prato com um orifício em seu centro #01

Um prato raso e circular tem um orifício de bordas vivas em seu centro. Um jato de água, de velocidade V, atinge o prato concentricamente.
A figura apresenta a configuração do problema. Considere, por simplicidade, que os jatos que surgem do impacto também apresentam velocidade V e que as velocidades dos jatos podem ser consideradas aproximadamente constantes. Determine uma expressão para a força externa que deve ser exercida sobre o prato pára mantê-lo fixo em sua posição.

§ 028 - Potência hidrelétrica disponível em determinado local #01

§ 027 - Manômetro diferencial com uma das colunas inclinada #01

§ 012 - Parafusos utilizados na fixação de estrutura de aço [DIC] #04

Os quadrados médios dos tratamentos e dos erros são iguais respectivamente a 117 e a 50,3, resultando em um valor para F de 2,33.
O F tabelado para 5% de significância, para 2 graus de liberdade dos tratamentos e 14 graus de liberdade dos erros resulta 3,74.
Como o F obtido com a análise de variância (2,33) não excede o F tabelado (3,74), a hipótese nula não pode ser rejeitada e não é possível concluir que exista diferença nas capacidades de resistência dos parafusos testados, obtidos nas três posições de fixação consideradas neste estudo.

Delineamentos em quadrados latinos, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. Os valores para F são obtidos dividindo os quadrados médios dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições pelo quadrado médio dos erros. Esses valores de F devem ser comparados com os valores fornecidos pela distribuição F para os graus de liberdade, respectivamente, dos tratamentos e dos erros, das linhas e dos erros, das colunas e dos erros e das repetições e dos erros, para a significância pretendida. Caso os valores obtidos sejam inferiores aos valores fornecidos pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso sejam superiores, a hipótese nula deve ser rejeitada.

Delineamentos em blocos casualizados, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. Os valores para F são obtidos dividindo os quadrados médios dos tratamentos e dos blocos pelo quadrado médio dos erros. Esses valores de F devem ser comparados com os valores fornecidos pela distribuição F para os graus de liberdade, respectivamente, dos tratamentos e dos erros e dos blocos e dos erros, e para a significância pretendida. Caso os valores obtidos sejam inferiores aos valores fornecidos pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso sejam superiores, a hipótese nula deve ser rejeitada.

Delineamentos inteiramente casualizados, análise de variância

As somas dos quadrados obtidas com a decomposição das observações podem ser convenientemente dispostas conforme a tabela de análise de variância, abaixo:
Os quadrados médios são obtidos dividindo a soma correspondente de quadrados pelos seus graus de liberdade. O valor para F é obtido dividindo o quadrado médio dos tratamentos pelo quadrado médio dos erros. Esse valor de F deve ser comparado com o valor fornecido pela distribuição F para os graus de liberdade dos tratamentos e dos erros e para a significância pretendida. Caso o valor obtido seja inferior ao valor fornecido pela distribuição, a hipótese nula não deve ser rejeitada; caso seja superior, a hipótese nula deve ser rejeitada.

Delineamentos em quadrados latinos, decomposição das observações

O modelo apresentado para os delineamentos em quadrados latinos pode ser re escrito como:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que o efeito dos tratamentos, os efeitos de linhas e colunas e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma das médias de todas as observações, do efeito de linhas e de colunas, nos dois primeiros parênteses, do efeito dos tratamentos, no terceiro parênteses, do efeito de repetições, no quarto parênteses, e do resíduo, no quinto e último parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados de linhas, de colunas, dos tratamentos, das repetições e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos, SQL é a soma dos quadrados das linhas, SQC é a soma dos quadrados das colunas, SQR é a soma dos quadrados das repetições e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção. As somas dos tratamentos, de linhas e de colunas apresentam respectivamente n-1 graus de liberdade, enquanto a soma das repetições apresenta r-1 graus de liberdade.
As somas dos quadrados dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições e a soma dos quadrados dos erros podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e as somas dos quadrados dos tratamentos, das linhas, das colunas e das repetições. A soma dos erros apresenta (n-1)(rn+r-3) graus de liberdade.
A soma SO_i+++ corresponde à soma das observações em cada linha, a soma SO_+j++ corresponde à soma das observações em cada coluna, a soma SO_++k+ corresponde à soma das observações em cada tratamento e a soma SO_+++l corresponde à soma em cada repetição, enquanto a soma SO₊₊₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.

Delineamentos em blocos casualizados, decomposição das observações

O modelo apresentado para os delineamentos em blocos casualizados pode ser re escrito como:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que o efeito dos tratamentos, o efeito dos blocos e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma das médias de todas as observações, do efeito dos tratamentos, no primeiro parênteses, do efeito dos blocos, no segundo parênteses, e do resíduo, no terceiro parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados dos tratamentos, dos blocos e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos, SQB é a soma dos quadrados dos blocos e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção. As somas dos tratamentos e dos blocos apresentam respectivamente k-1 e n-1 graus de liberdade.
As somas dos quadrados dos tratamentos e dos blocos e a soma dos quadrados dos erros podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e as somas dos quadrados dos tratamentos e dos blocos. A soma dos erros apresenta (k-1)(n-1) graus de liberdade.
A soma SO_i+ corresponde à soma das observações em cada um dos tratamentos, a soma SO_+j corresponde à soma das observações em cada bloco, enquanto a soma SO₊₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.

Delineamentos inteiramente casualizados, decomposição das observações

O modelo apresentado para os delineamentos inteiramente casualizados pode ser re escrito como:
permitindo que as observações sejam devidamente decompostas e que o efeito dos tratamentos e o termo que concentra as aleatoriedades possam ser avaliados. Nessa expressão, a observação x_ij, à esquerda da igualdade, é escrita como a soma da médias de todas as observações, do efeito dos tratamentos, no primeiro parênteses, e do resíduo, no segundo parênteses.
A partir dessa decomposição podem ser calculadas as somas dos quadrados dos tratamentos e dos erros e avaliados os graus de liberdade correspondentes necessários para a análise de variância.
A partir dessa decomposição também podem ser obtidas as equações a seguir, que permitem o cálculo das somas dos quadrados dispensando a elaboração dessa decomposição. Essas equações permitem elaborar a tabela de análise de variância a partir de simples somas das observações, dispensando a construção de decomposições.
Nessas equações, STQ é a soma total dos quadrados, SQT é a soma dos quadrados dos tratamentos e SQE é a soma dos quadrados dos erros; SO é a soma das observações, C é o chamado termo de correção. A soma dos tratamentos apresenta k-1 graus de liberdade.
A soma dos quadrados dos tratamentos e a soma dos quadrados dos erros podem ser obtidos a partir do cálculo direto efetuado com os componentes da decomposição que pode ser elaborada a partir da primeira equação, mais acima. A soma total do quadrados, entretanto, não pode ser obtida desse modo, simplesmente somando os quadrados das observações, como pode ser visto logo acima. A soma total dos quadrados é igual à diferença entre a soma dos quadrados das observações e o termo de correção, que é igual ao quadrado da soma das observações dividido pelo número total de observações.
A soma dos quadrados dos erros é obtida a partir da diferença entre a soma total dos quadrados e a soma dos quadrados dos tratamentos. A soma dos erros apresenta nk-k graus de liberdade.
A soma SO_i corresponde à soma das observações em cada um dos tratamentos, enquanto a soma SO₊ corresponde à soma total de todas as observações, quer dizer, é a soma das observações em cada um dos tratamentos somada para todos os tratamentos.

§ 026 - Tanque com água e ar #01

Considere o tanque mostrado na figura. A pressão no ponto A é de 98kPa. Qual a pressão no ponto B? E qual seria a pressão no ponto B se o peso específico do ar fosse desprezado?

Henri Pitot (1695-1771)

Henri Pitot foi um engenheiro francês especializado em hidráulica, nascido em Aramon em 3 de maio de 1695 e falecido em 27 de dezembro de 1771. Começou os seus estudos em matemática e astronomia em Paris, tendo-se tornado assistente do eminente físico Réaumur em 1723. No ano seguinte foi nomeado membro da Academia das Ciências de França.

§ 025 - Aplicação da teoria da semelhança ao escoamento em torno de uma esfera #01

Considere o escoamento em torno de uma esfera.

§ 024 - Determinação de função de corrente #01

Considere um escoamento descrito por um campo de velocidades com as componentes u e v apresentadas abaixo. Determine a função de corrente e desenhe o campo de velocidades. Determine, se possível, a função potencial de velocidades. Estabeleça o campo de acelerações.

§ 023 - Elevação capilar entre tubo e tarugo #01

§ 022 - Banho sulfúrico aquecido para retirada de óxidos de superfície metálica [EMF] #01

Um típico Experimento Multi Fatorial [EMF]... Um banho com ácido sulfúrico aquecido é utilizado para remover óxidos da superfície de um metal que receberá um filme fino como cobertura. É necessário determinar que fatores, além da concentração de ácido sulfúrico, podem afetar a condutividade elétrica do banho.
Como a concentração de sal e a temperatura do banho também devem influenciar a condutividade elétrica, planeja-se um experimento para avaliar as influências individuais e conjuntas dessas três variáveis.
Para cobrir as variações típicas dessas três variáveis, planeja-se um experimento com os seguintes níveis para os três fatores considerados:

Os resultados obtidos para três replicações desse experimento, que envolve 24 diferentes combinações destes níveis, foram os seguintes:




Uma análise de variância com significância de 5%, considerando as diferentes concentrações de ácido, as diferentes concentrações de sal, as diferentes temperaturas do banho e as replicações, pode indicar se existem diferenças em seus efeitos sobre os resultados.

§ 021 - Tempo de cozimento de amostras cerâmicas [E2F] #01

Um típico Experimento Fatorial com Dois Fatores [E2F]... É necessário avaliar a influência da largura de um forno e da temperatura mantida durante o cozimento de amostras cerãmicas sobre o tempo até determinado estágio de cozimento dessas amostras. Os resultados obtidos para três repetições foram os seguintes:

Uma análise de variância com 1% de significância pode indicar se existe influência da largura do forno, da temperatura mantida durante o cozimento ou se existe interação entre esses efeitos sobre o tempo de cozimento.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #06

» O enunciado do problema está em #01.