§ 022 - Banho sulfúrico aquecido para retirada de óxidos de superfície metálica [EMF] #01

Um típico Experimento Multi Fatorial [EMF]... Um banho com ácido sulfúrico aquecido é utilizado para remover óxidos da superfície de um metal que receberá um filme fino como cobertura. É necessário determinar que fatores, além da concentração de ácido sulfúrico, podem afetar a condutividade elétrica do banho.
Como a concentração de sal e a temperatura do banho também devem influenciar a condutividade elétrica, planeja-se um experimento para avaliar as influências individuais e conjuntas dessas três variáveis.
Para cobrir as variações típicas dessas três variáveis, planeja-se um experimento com os seguintes níveis para os três fatores considerados:

Os resultados obtidos para três replicações desse experimento, que envolve 24 diferentes combinações destes níveis, foram os seguintes:




Uma análise de variância com significância de 5%, considerando as diferentes concentrações de ácido, as diferentes concentrações de sal, as diferentes temperaturas do banho e as replicações, pode indicar se existem diferenças em seus efeitos sobre os resultados.

§ 021 - Tempo de cozimento de amostras cerâmicas [E2F] #01

Um típico Experimento Fatorial com Dois Fatores [E2F]... É necessário avaliar a influência da largura de um forno e da temperatura mantida durante o cozimento de amostras cerãmicas sobre o tempo até determinado estágio de cozimento dessas amostras. Os resultados obtidos para três repetições foram os seguintes:

Uma análise de variância com 1% de significância pode indicar se existe influência da largura do forno, da temperatura mantida durante o cozimento ou se existe interação entre esses efeitos sobre o tempo de cozimento.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #06

» O enunciado do problema está em #01.

Delineamentos em quadrados latinos, modelos e hipóteses

As observações x_ij, conforme organizadas para delineamentos em quadrados latinos, podem ser escritas como aparece acima, onde cada observação é decomposta como a soma da média de todas as observações, do efeito do tratamento, dos efeitos de linhas e colunas e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
A hipótese nula deve estabelecer que os efeitos das linhas são todos iguais a zero, ou seja, α₁=α₂=...=α_k=0, que os efeitos das colunas são todos iguais a zero, ou seja, β₁=β₂=...=β_k=0 e que os efeitos dos tratamentos são todos iguais a zero, ou seja, γ₁=γ₂=...=γ_k=0. A hipótese alternativa deve estabelecer que pelo menos um dos efeitos dos tratamentos seja diferente de zero, que pelo menos um dos efeitos das linhas seja diferente de zero e que pelo menos um dos efeitos das colunas seja diferente de zero.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #05

» O enunciado do problema está em #01.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #04

» O enunciado do problema está em #01.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #03

» O enunciado do problema está em #01.

Delineamentos em blocos casualizados, modelo e hipóteses

As observações x_ij, conforme organizadas para delineamentos em blocos casualizados, podem ser escritas como aparece acima, onde cada observação é decomposta como a soma da média de todas as observações, do efeito do tratamento, do efeito do bloco e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
A hipótese nula deve estabelecer que os efeitos dos tratamentos são todos iguais a zero, ou seja, α₁=α₂=...=α_k=0, e que os efeitos dos blocos são todos iguais a zero, ou seja, β₁=β₂=...=β_k=0. A hipótese alternativa deve estabelecer que pelo menos um dos efeitos dos tratamentos seja diferente de zero e que pelo menos um dos efeitos dos blocos seja diferente de zero.

Delineamentos inteiramente casualizados, modelo e hipóteses

As observações x_ij, conforme organizadas para delineamentos interiamente casualizados, podem ser escritas como aparece ao lado, onde cada observação é decomposta como a soma da média da amostra e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
Para facilitar o desenvolvimento de delineamentos mais complexos, a média de cada tratamento será decomposta ainda como a soma da média de todas as observações e do efeito do tratamento. Desse modo, onde cada observação é decomposta como a soma da média de todas as observações, do efeito do tratamento e de uma componente aleatória, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n.
A hipótese nula, de que as médias das k amostras são todas iguais, pode ser re escrita de modo as estabelecer que os efeitos dos tratamentos são todos iguais a zero, ou seja, α₁=α₂=...=α_k=0.
A hipótese alternativa, de que pelo menos uma das médias das k amostras seja diferente, pode ser re escrita de modo a estabelecer que pelo menos um dos efeitos dos tratamentos seja diferente de zero.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #02

O perfil de velocidades deve ser determinado com a aplicação da equação da continuidade e das três componentes da equação de Navier-Stokes, na forma diferencial.
Considerando que o eixo x se desenvolva ao longo da direção de movimento relativo entre as placas, apenas a primeira componente da velocidade, u, será diferente de zero.
Na equação da continuidade, as variações de v e de w com y e com z, respectivamente, serão iguais a zero. Restando apenas a variação de u com x, será também igual a zero.
Na segunda e na terceira componentes da equação de Navier-Stokes, todos os termos que incluem v e w e suas variações com y e com z serão iguais a zero. Restarão apenas as derivadas de p com y e com z, que serão também iguais a zero. Desse modo, sabe-se que a pressão varia apenas com x.
Na primeira componente, os termos incluindo v e w e as derivadas de u com x e com z serão iguais a zero. Restarão apenas a derivada segunda de u com y e a derivada da pressão com x, que aparecem na equação à direita. O perfil de velocidades, a componente u como função de y, pode ser determinado a partir da integração dessa equação diferencial.
Considerando o gradiente de pressão ao longo de x como uma constante, uma primeira integração leva à equação à esquerda, onde aparece a constante C₁, constante de integração, a ser determinada por condições de contorno. Uma nova integração leva à equação logo abaixo, à direita, onde aparecem duas constantes de integração, C₁ e C₂. Essa equação estabelece o perfil de velocidades e descreve a primeira componente do vetor velocidade, u, como função da ordenada y, perpendicular à direção do escoamento. As duas condições de contorno, necessárias para determinação das constantes de integração, estabelecem as velocidades de camadas do fluido em contato com as duas placas.
» Segue em #03.
» O enunciado do problema está em #01.

§ 020 - Perfis de velocidade entre duas placas planas paralelas #01

Considere um fluido newtoniano incompressível colocado entre duas placas planas paraleles, conforme a figura. Determine o perfil de velocidades considerando combinações de velocidades das duas placas e de gradiente de pressões atuando sobre o fluido.
» Resolvido em #02, #03, #04, #05 e #06.

§ 019 - Continuidade em escoamento através de túnel de vento #01

O túnel de vento da figura ao lado é composto por três trechos com diâmetros diferentes. O primeiro tem diâmetro de 2,6 m e é por onde o ar entra no túnel; o segundo, onde está a seção de testes, tem diâmetro de 0,9 m; o terceiro, onde está situado o impulsor, tem diâmetro de 2,4 m. A seção de testes tem comprimento de 4 m e suas paredes são porosas, para permitir a saída de ar e a redução da espessura da camada-limite, permitindo uma melhor reprodução de um escoamento livre.

Lewis F. Moody (1880-1953)

Lewis Ferry Moody foi um engenheiro norte-americano nascido em 1880 e falecido em 1953. Ele foi o primeiro Professor da cátedra de Hidráulica da Escola de Engenharia de Princeton e ficou famoso pelo seu trabalho [1] que apresentou o diagrama...

Delineamentos em quadrados latinos

Agregando blocos ao delineamento experimental, é possível "eliminar" uma fonte de variabilidade na comparação das médias das amostras. É possível ainda "eliminar" mais fontes de variabilidade ao delineamento experimental, tornando obviamente o modelo cada vez mais complexo mas ainda mantendo o balanceamento obtido com a introdução de blocos.
Os dados, agora, correspondem aos efeitos de k tratamentos sobre a "linhas" e b "colunas". Neste momento, ainda, será considerado que existe apenas uma observação (quer dizer, sem repetições) corresponente ao efeito de determinado tratamento sobre um bloco específico.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde os tratamentos A, B e C são distribuídos igualitariamente entre "linhas" e "colunas".
É importante que em cada linha e em cada coluna ocorra a aplicação de determinado tratamento apenas uma única vez. Em caso de repetição, recorre-se aos quadrados latinos para estabelecer a distribuição dos tratamentos entre linhas e colunas.
A tabela acima apresenta um exemplo de quadrado latino, onde cada tratamento aparece apenas uma vez em cada uma das linhas e colunas. A tabela ao lado apresenta outro exemplo de quadrado latino para uma matriz com 3 linhas e 3 colunas.
É necessário avaliar se existe diferença nos efeitos dos tratamentos e, do mesmo modo, se existe diferença nos efeitos de linhas e colunas.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com as mesmas médias, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias iguais. Existem testes para avaliar a razoabilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é necessário que as amostras apresentem o mesmo número de observações, ou seja, que se apresentem balanceadas.

Osborne Reynolds (1842-1912)

Osborne Reynolds foi um físico irlandês com importantes contribuições em mecânica dos fluidos e termodinâmica. Ele nasceu em Belfast, em 23 de agosto de 1842, e faleceu em Watchet, em 21 de fevereiro de 1912.

§ 018 - Três soldadores, três métodos e três intensidades de soldagem [DQL] #01

Um típico problema de Delineamento em Quadrados Latinos [DQL]... Três diferentes métodos para soldagem de peças de cobre podem ser considerados como três tratamentos, associados a outras duas fontes de variação: três diferentes soldadores e três diferentes intensidades de soldagem. Os efeitos dos tratamentos e dessas duas fontes de variação podem ser avaliados a partir da medição do esforço necessário para romper as peças soldadas. Considerando que o experimento tenha sido realizado com a seguinte distribuição de métodos de soldagem (A, B e C) entre os operadores e as diferentes intensidades de soldagem, ...

os resultados das medições, devidamente adimensionalizados, são os seguintes:

Uma análise de variância com significância de 1%, considerando os diferentes métodos de soldagem, os diferentes soldadores, as diferentes intensidades de soldagem e as replicações, pode indicar se existem diferenças em seus efeitos sobre os resultados.

Julius Weissbach (1806-1871)

Julius Ludwig Weisbach foi um matemático e engenheiro alemão nascido em Mildenau, em 10 de agosto de 1806, e falecido em Freiberg em 24 de fevereiro de 1871.
Ele estudou engenharia em Freiberg entre 1822 e 1826 e depois trabalhou sob orientação de Carl Friedrich Gauss, Göttingen, e de Friedrich Mohs, em Viena.

Henry Darcy (1803-1858)

Henry Philibert Gaspard Darcy foi um engenheiro francês que contribuiu decisivamente para o desenvolvimento da Hidráulica. Seus trabalhos sobre perdas de carga em escoamento em tubulações e sobre permeabilidade ainda são válidos. Ele nasceu em Dijon, em 10 de junho de 1803, e faleceu por causa de uma pneumonia em uma viagem para Paris em 03 de janeiro de 1858.

§ 017 - Esforços devidos ao escoamento ao longo de uma pá #01

§ 012 - Parafusos utilizados na fixação de estrutura de aço [DIC] #03

A soma dos quadrados dos tratamentos, SQTr, é igual a 234 e a soma dos quadrados dos erros, SQE, a 704. SQTr é obtida somando os quadrados de todos os termos da segunda matriz do lado direito da decomposição apresentada em #02. Do mesmo modo, SQE é obtida somando os quadrados de todos os termos da teceira matriz do lado direito da decomposição apresentada em #02.
Os mesmos resultados podem ser obtidos pelas equações ao lado, onde STQ é a soma total dos quadrados. Conforme essas equações, STQ é 938, SQTr é 234 (!) e SQE resulta 704 (!).
» Segue em #04.

Delineamentos em blocos casualizados

É possível reduzir a componente das observações que é devida à aleatoriedade incluindo fontes "conhecidas" de variação. É o que se faz agregando blocos ao delineamento experimental.
Os dados, agora, correspondem aos efeitos de k tratamentos sobre n blocos. Neste momento, ainda, será considerado que existe apenas uma observação corresponente ao efeito de determinado tratamento sobre um bloco específico.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde aparecem observações correspondentes aos efeitos de k tratamentos e de n blocos, totalizando k.n observações, onde x_ij é a observação correspondente ao i-ésimo tratamento e ao j-ésimo bloco, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n, com o subíndice '+', no cálculo das médias, indicando o tratamento ou o bloco no qual foi calculada a média. Dois subíndices '+' indicam que a média é calculada sobre os tratamentos e sobre os blocos, correspondendo portanto à "grande média", ou "média geral", que é a média de todas as observações.
É necessário avaliar se os efeitos dos tratamentos são idênticos entre si e, do mesmo modo, se os efeitos dos blocos são idênticos entre si, ou se uma ou mais se diferenciam das outras.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com as mesmas médias, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias iguais. Existem testes para avaliar a razoanilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é necessário que as amostras apresentem o mesmo número de observações, ou seja, que se apresentem balanceadas.