Delineamentos em quadrados latinos

Agregando blocos ao delineamento experimental, é possível "eliminar" uma fonte de variabilidade na comparação das médias das amostras. É possível ainda "eliminar" mais fontes de variabilidade ao delineamento experimental, tornando obviamente o modelo cada vez mais complexo mas ainda mantendo o balanceamento obtido com a introdução de blocos.
Os dados, agora, correspondem aos efeitos de k tratamentos sobre a "linhas" e b "colunas". Neste momento, ainda, será considerado que existe apenas uma observação (quer dizer, sem repetições) corresponente ao efeito de determinado tratamento sobre um bloco específico.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde os tratamentos A, B e C são distribuídos igualitariamente entre "linhas" e "colunas".
É importante que em cada linha e em cada coluna ocorra a aplicação de determinado tratamento apenas uma única vez. Em caso de repetição, recorre-se aos quadrados latinos para estabelecer a distribuição dos tratamentos entre linhas e colunas.
A tabela acima apresenta um exemplo de quadrado latino, onde cada tratamento aparece apenas uma vez em cada uma das linhas e colunas. A tabela ao lado apresenta outro exemplo de quadrado latino para uma matriz com 3 linhas e 3 colunas.
É necessário avaliar se existe diferença nos efeitos dos tratamentos e, do mesmo modo, se existe diferença nos efeitos de linhas e colunas.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com as mesmas médias, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias iguais. Existem testes para avaliar a razoabilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é necessário que as amostras apresentem o mesmo número de observações, ou seja, que se apresentem balanceadas.

Osborne Reynolds (1842-1912)

Osborne Reynolds foi um físico irlandês com importantes contribuições em mecânica dos fluidos e termodinâmica. Ele nasceu em Belfast, em 23 de agosto de 1842, e faleceu em Watchet, em 21 de fevereiro de 1912.

§ 018 - Três soldadores, três métodos e três intensidades de soldagem [DQL] #01

Um típico problema de Delineamento em Quadrados Latinos [DQL]... Três diferentes métodos para soldagem de peças de cobre podem ser considerados como três tratamentos, associados a outras duas fontes de variação: três diferentes soldadores e três diferentes intensidades de soldagem. Os efeitos dos tratamentos e dessas duas fontes de variação podem ser avaliados a partir da medição do esforço necessário para romper as peças soldadas. Considerando que o experimento tenha sido realizado com a seguinte distribuição de métodos de soldagem (A, B e C) entre os operadores e as diferentes intensidades de soldagem, ...

os resultados das medições, devidamente adimensionalizados, são os seguintes:

Uma análise de variância com significância de 1%, considerando os diferentes métodos de soldagem, os diferentes soldadores, as diferentes intensidades de soldagem e as replicações, pode indicar se existem diferenças em seus efeitos sobre os resultados.

Julius Weissbach (1806-1871)

Julius Ludwig Weisbach foi um matemático e engenheiro alemão nascido em Mildenau, em 10 de agosto de 1806, e falecido em Freiberg em 24 de fevereiro de 1871.
Ele estudou engenharia em Freiberg entre 1822 e 1826 e depois trabalhou sob orientação de Carl Friedrich Gauss, Göttingen, e de Friedrich Mohs, em Viena.

Henry Darcy (1803-1858)

Henry Philibert Gaspard Darcy foi um engenheiro francês que contribuiu decisivamente para o desenvolvimento da Hidráulica. Seus trabalhos sobre perdas de carga em escoamento em tubulações e sobre permeabilidade ainda são válidos. Ele nasceu em Dijon, em 10 de junho de 1803, e faleceu por causa de uma pneumonia em uma viagem para Paris em 03 de janeiro de 1858.

§ 017 - Esforços devidos ao escoamento ao longo de uma pá #01

§ 012 - Parafusos utilizados na fixação de estrutura de aço [DIC] #03

A soma dos quadrados dos tratamentos, SQTr, é igual a 234 e a soma dos quadrados dos erros, SQE, a 704. SQTr é obtida somando os quadrados de todos os termos da segunda matriz do lado direito da decomposição apresentada em #02. Do mesmo modo, SQE é obtida somando os quadrados de todos os termos da teceira matriz do lado direito da decomposição apresentada em #02.
Os mesmos resultados podem ser obtidos pelas equações ao lado, onde STQ é a soma total dos quadrados. Conforme essas equações, STQ é 938, SQTr é 234 (!) e SQE resulta 704 (!).
» Segue em #04.

Delineamentos em blocos casualizados

É possível reduzir a componente das observações que é devida à aleatoriedade incluindo fontes "conhecidas" de variação. É o que se faz agregando blocos ao delineamento experimental.
Os dados, agora, correspondem aos efeitos de k tratamentos sobre n blocos. Neste momento, ainda, será considerado que existe apenas uma observação corresponente ao efeito de determinado tratamento sobre um bloco específico.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde aparecem observações correspondentes aos efeitos de k tratamentos e de n blocos, totalizando k.n observações, onde x_ij é a observação correspondente ao i-ésimo tratamento e ao j-ésimo bloco, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n, com o subíndice '+', no cálculo das médias, indicando o tratamento ou o bloco no qual foi calculada a média. Dois subíndices '+' indicam que a média é calculada sobre os tratamentos e sobre os blocos, correspondendo portanto à "grande média", ou "média geral", que é a média de todas as observações.
É necessário avaliar se os efeitos dos tratamentos são idênticos entre si e, do mesmo modo, se os efeitos dos blocos são idênticos entre si, ou se uma ou mais se diferenciam das outras.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com as mesmas médias, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias iguais. Existem testes para avaliar a razoanilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é necessário que as amostras apresentem o mesmo número de observações, ou seja, que se apresentem balanceadas.

§ 016 - Quatro detergentes diferentes em três máquinas [DBC] #01

Um típico problema de Delineamento em Blocos Casualizados [DBC]... As quatro medidas de "brancura" apresentadas a seguir, obtidas com um equipamento específico, foram obtidas com 12 cargas de roupas distribuídas em 3 diferentes modelos de máquinas lava-roupas e com a utilização de 4 diferentes detergentes.

Uma análise de variância com significância de 1%, considerando os diferentes detergentes como tratamentos e as diferentes máquinas como blocos, pode indicar se existem diferenças em seus efeitos sobre os resultados.

§ 015 - Esforços devidos ao escoamento através de curva-redução #01

§ 014 - Operação de comporta que separa reservatório de canal de fuga #01

A comporta retangular mostrada na figura é articulada em A e separa a água em um reservatório do canal de fuga. Se a comporta, de espessura uniforme, mede 2m por 3m e pesa 2t, determine a altura máxima h para a qual a comporta permanece fechada.

§ 013 - Força sobre superfície plana trapezoidal submersa #01

Uma comporta trapezoidal vertical com sua aresta superior localizada 5m abaixo da superfície livre é mostrada na figura abaixo. Determine a força resultante das forças de pressão e o centro de pressões da comporta.
Como seriam alterados esses valores se a comporta fosse girada 180^o em torno de seu centro geométrico?

§ 012 - Parafusos utilizados na fixação de estrutura de aço [DIC] #02

O modelo deste delineamento é mostrado ao lado, permitindo o estabelecimento do teste de hipóteses a ser empregado, com 5% de significância. Como é típico neste tipo de delineamento, a hipótese nula afirma que os αs são todos iguais a zero, para todos os valores possíveis de i; a hipótese alternativa diz que algum desses αs será diferente de zero.
A partir da equação do modelo é possível decompor cada observação conforme é mostrado pelas equações. É tradicional que as médias calculadas ao longo de um dos subíndices seja representada por um ponto, mas foi feita a opção pelo sinal de adição, para melhorar a legibilidade das equações. Com essa decomposição, podem ser obtidas as matrizes apresentadas abaixo. A primeira é a matriz das observações, no lado esquerdo d igualdade, seguida de uma matriz com a grande média, uma matriz com o efeito dos tratamentos e outra com os erros, no lado direito.
=++ Observa-se que a matriz correspondente aos efeitos dos tratamentos tem 2 graus de liberdade, enquanto a matriz dos erros tem 14 graus de liberdade. A primeira é composta por apenas três elementos diferentes e a soma de todos os seus elementos é igual a zero. A segunda tem as somas das linhas iguais a zero.
» Segue em #03.

Delineamentos inteiramente casualizados

O ponto de partida é um conjunto de dados, ou observações, obtidos a partir de determinado experimento, composto por k amostras independentes, cada uma com um total de n repetições. É necessário avaliar se as observações são oriundas de k populações com a mesma média.
As observações podem ser organizadas do seguinte modo:
onde aparecem k amostras (denominadas como tratamentos) de n observações, onde x_ij é a observação da i-ésima amostra e da j-ésima repetição, i variando de 1 a k e j variando de 1 a n, com o subíndice '+' indicando o cálculo de uma média no subíndice correspondente. Dois subíndices '+' indicam que a média é calculada sobre os tratamentos e sobre as repetições, correspondendo portanto à "grande média", ou "média geral", que é a média de todas as observações.
Para testar a hipótese de que as amostras foram obtidas de k populações com a mesma média, será necessário assumir que essas populações apresentam comportamento normal e que apresentam variâncias idênticas. Existem testes para avaliar a razoabilidade dessas premissas, mas os métodos utilizados aqui para resolução de problemas são relativamente insensíveis a populações "anormais" ou que não apresentem mesma variância.
Neste tipo de delineamento é possível que as amostras apresentem números diferentes de observações, ou seja, que se apresentem desbalanceadas.

§ 012 - Parafusos utilizados na fixação de estrutura de aço [DIC] #01

Um típico problema de Delianeamento Inteiramente Casualizado [DIC]... Após o rompimento de um forro em um prédio, os parafusos remanescentes utilizados na fixação da estrutura de aço de suporte do forro foram rompidos para avaliar sua capacidade de resistência. Esses parafusos estavam localizados em três posições de fixação. As forças necessárias para romper os parafusos testados, em valores adimensionalizados, foram as seguintes:

Uma análise de variância com 5% de significância pode indicar se existem diferenças nas médias das amostras obtidas nessas três posições de fixação.
» Resolvido em #02, #03 e #04.

§ 011 - Manômetro instalado em bocal #01

O bocal da figura apresenta três trechos com diâmetros diferentes e um manômetro instalado entre dois desses trechos. O diâmetro do trecho central é o dobro do diâmetro do primeiro trecho e o quádruplo do diâmetro do terceiro trecho, a partir do qual se estabelece o jato livre. Determine o esforço que deve ser suportado pelos parafusos no flange para manter o bocal fixo à tubulação.

§ 010 - Dois reservatórios atuando sobre uma placa disposta na vertical #01

Considere que uma placa plana, disposta na vertical, tem sua face esquerda utilizada para fechar a saída de um tubo conectado a um reservatório e impedindo seu esvaziamento. O nível de água neste reservatório está situado h₁ acima do eixo desse tubo. A face direita dessa placa plana está sujeita a atuação de um jato livre, surgido de um tubo conectado a um segundo reservatório. O nível de água neste reservatório está situado h₂ acima do eixo do tubo de saída. Determine a relação entre as duas alturas para que a placa permaneça fixa em sua posição.

§ 009 - Determinação do ponto de funcionamento de uma bomba #01

Pretende-se instalar uma bomba centrífuga da linha Meganorm, da KSB, na posição indicada na figura, a ser acionada por um motor de indução de quatro pólos. A tubulação de aspiração, de PVC, tem diâmetro de 75 mm e comprimento de 1,06 m. A tubulação de recalque, também de PVC, tem diâmetro de 50 mm e comprimento de 2,30 m. Há um registro de gaveta no priemiro trecho do tubo de recalque. Escolha um modelo de bomba e o diâmetro do rotor para que essa bomba forneça a vazão de 13,5l/s. Que outros modelos de bomba poderiam ser selecionados para este projeto?

§ 008 - Esforço para manter um redutor fixo à tubulação #01

Um redutor está inserido em uma tubulação conforme mostrado na figura. Ele tem um volume interno dado por VI e transporta um líquido com densidade d. A seção de entrada desse redutor, 1, tem diâmetro D₁ e está sujeita à pressão p₁; a seção de saída, 2, tem diâmetro D₂ e está sujeito à pressão p₂. Qual o esforço que deve ser suportado pelos parafusos utilizados no flange para que esse redutor permaneça fixo em sua posição?

§ 007 - Escoamento entre dois reservatórios #01

Uma adutora une dois reservatórios, conforme aparece ilustrado abaixo. Em § 003 se viu que a resolução pode se tornar relativamente complexa quando é necessário determinar a vazão através dessa adutora (conhecidas as características da tubulação e o valor da perda de carga) ou quando é necessário determinar seu diâmetro (conhecido o valor da perda de carga). Estabeleça roteiros para a determinação da vazão e para a determinação do diâmetro. Como esses roteiros seriam afetados pela inclusão de parâmetros econômicos?

Massa específica da água

A tabela ao lado apresenta valores de massa específica, ρ [kg/m³], para a água pura, para temperaturas entre 0^oC (nos estados sólido e líquido) e 100^oC.

§ 006 - Esvaziamento entre dois discos #01

Um tanque é esvaziado por um tubo instalado em sua parte inferior. Este tubo conduz a dois discos paralelos dispostos horizontalmente. O escoamento, passando do tubo para a região entre os dois discos, sofre uma mudança de direção. O escoamento também se torna radial e apresenta características interessantes.
A figura mostra a configuração do problema. O nível de água no tanque está situado uma altura h acima da linha média entre os dois discos. O tanque tem diâmetro d_T e os discos têm diâmetro d_D. Os discos guardam uma distância igual a δ entre si. Qual a vazão de esvaziamento?
Além disso, considerando uma circunferência imaginária de diâmetro d_C situada sobre a linha média entre os dois discos e um ponto C sobre essa circunferência, qual a pressão, p_C, neste ponto?
» Resolvido em #02 e #03.

§ 005 - O Problema dos Três Reservatórios com bombeamento #01

Este problema é uma variante do Problema de Bélanger com uma bomba instalada em um dos condutos, viabilizando o transporte de água de um dos reservatórios para os outros dois, colocados em cota superior. A bomba b está colocada no trecho (1) e insere energia no escoamento suficiente para o enchimento dos reservatórios B e C. É necessário, conhecidas as características de funcionamento da bomba, as vazões nos três tubos. A figura mostra a configuração do problema. A linha de energia para o tubo (1) coincide com a superfície de água no reservatório A e é elevada pela bomba na posição b. As linhas de energia nos outros dois tubos também coincidem com as superfícies de água nos reservatórios B e C. As inhas de energia dos três tubos assumem o mesmo valor na junção j.